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1 引言 越來(lái)越多的應(yīng)用要求采樣模擬信號(hào),將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào),對(duì)數(shù)字信號(hào)做各種計(jì)算和處理,然后再將它們轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)｡本文討論了如何采樣模擬信號(hào)并對(duì)其整形以保持原始信號(hào)的方法｡ 2 基帶信號(hào)的采樣和混疊分析 先從有限帶寬信號(hào)著手討論,有限帶寬信號(hào)是指某個(gè)頻率點(diǎn)(截止頻點(diǎn))之外的所有頻率的頻譜成分的幅度都為0的信號(hào)｡如圖1中的g(t),大于截止頻點(diǎn)α的頻率范圍內(nèi)的頻譜分量全部為0｡在這種情況下,α也就是這個(gè)基帶信號(hào)的帶寬｡對(duì)g(t)的采樣在數(shù)學(xué)上可以用以下方式表達(dá):將g(t)乘以周期為T(mén)的沖激函數(shù)｡g(t)在沖激點(diǎn)的信號(hào)值被采樣,而其它點(diǎn)的值都為0｡從模擬信號(hào)角度來(lái)看,就是按頻率fSAMPLING=1/T對(duì)g(t)取樣｡采樣后的信號(hào)s(t)可用以下公式表示: 為了得到采樣后信號(hào)s(t)的頻譜,可對(duì)s(t)做傅立葉變換: 沖激串函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù),可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示,如下式: 此處的傅立葉系數(shù)為: 上式中積分的上下限只由一個(gè)周期來(lái)決定｡在保證等效的前提下,可以進(jìn)行以下變換:用從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的傅立葉積分代替上式中的積分,周期性的沖激函數(shù)用基頻沖激函數(shù)代替,則上式可改寫(xiě)為: 沖激串函數(shù)可用以下更方便做傅立葉變換的簡(jiǎn)化形式表示: 考慮到一個(gè)信號(hào)可由它的傅立葉變換積分得到,如下式: 可得到如下最終結(jié)果 根據(jù)以上結(jié)果,再重新考慮被采樣的基頻信號(hào),它的傅立葉變換為: 兩個(gè)信號(hào)A(f)和B(f)的卷積定義為: 則S(f)可改寫(xiě)為: 上式就是我們常說(shuō)的采樣定律｡它表明在時(shí)域里按周期T采樣得到的信號(hào)會(huì)以1/T 的頻率重復(fù)原始信號(hào)的頻譜,如圖2所示｡ 為保留所有原始信號(hào)的信息,必須保證每一個(gè)重復(fù)頻譜之間不發(fā)生混疊｡否則,就不可能從采樣信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)｡混疊意味著高頻段掩蓋了低頻段信號(hào),如圖3所示｡為避免混疊,必須滿足以下條件:1/T≥2α或1/T≥2BW｡也可用采樣頻率表示為: fSAMPLING≥2BW 以上表明不會(huì)產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率是2BW｡這就是奈奎斯特采樣定律｡ 圖3給出了被混疊的采樣信號(hào)｡高頻信號(hào)分量fH疊加在低頻部分｡設(shè)計(jì)時(shí),通常用一個(gè)低通濾波器來(lái)恢復(fù)原始頻譜并將其它頻譜分量濾掉｡當(dāng)使用截止頻率為α的低通濾波器恢復(fù)圖3信號(hào)時(shí),它無(wú)法將混疊的高頻信號(hào)濾掉,從而造成信號(hào)的劣化｡ 3 帶通信號(hào)的采樣和混疊分析 再來(lái)看另一種有限帶寬信號(hào),帶通信號(hào)｡帶通信號(hào)的低頻截止點(diǎn)不在0HZ｡圖4中的帶通信號(hào)的頻譜能量范圍在αL和αU之間,它的帶寬定義為αU-αL｡帶通信號(hào)和基帶信號(hào)的主要差異就是帶寬的定義｡基帶信號(hào)的帶寬等于它的高頻截止頻率,而帶通信號(hào)的帶寬等于高頻截止頻率和低頻截止頻率之差｡由前面的討論可知,采樣信號(hào)以1/T 的周期重復(fù)原始信號(hào)的頻譜｡因?yàn)檫@個(gè)頻譜實(shí)際上包括從0Hz到原始帶通信號(hào)低頻截止頻率之間的0幅值頻帶,所以實(shí)際的原始帶通信號(hào)帶寬要比αU小｡ 這樣就可以在頻域做一定的頻率偏移,而采樣頻率也可以降低｡為滿足奈奎斯特定律,一個(gè)實(shí)際帶寬為αU/2的原始帶通信號(hào),其采樣頻率設(shè)為αU即可,采樣信號(hào)的頻譜如圖5所示｡這樣的采樣沒(méi)有產(chǎn)生混疊,因此如果有理想的帶通濾波器,可完全恢復(fù)出原始信號(hào)｡在本例中,基帶和帶通信號(hào)的差別非常重要｡對(duì)于基帶信號(hào),帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由高頻截止點(diǎn)決定｡而帶通信號(hào)的帶寬通常都要比高頻截止頻率小｡ 4 采樣方式及結(jié)果分析 以上特性決定了從采樣信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)的不同方法｡對(duì)于高頻截止點(diǎn)相同的基帶信號(hào)和帶通信號(hào),只要采用合適的帶通濾波器,帶通信號(hào)的采樣頻率就可以降低(圖5中的白色矩形部分)｡而低通濾波器在這種情況下無(wú)法恢復(fù)出原始信號(hào),由圖5可明顯看出,陰影部分仍然包含在恢復(fù)信號(hào)頻譜中｡所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖5中的帶通信號(hào),采樣頻率必須在2αU以上以避免混疊｡有限帶寬信號(hào)必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復(fù)｡對(duì)于帶通信號(hào),用帶通濾波器時(shí),采用奈奎斯特采樣頻率可避免混疊｡否則就必須使用更高的采樣頻率｡在實(shí)際應(yīng)用中選擇ADC和DAC時(shí),這一點(diǎn)很重要｡ 還要注意的是對(duì)有限帶寬信號(hào)的假設(shè)｡從數(shù)學(xué)上分析,一個(gè)信號(hào)不可能是真正有限帶寬的｡傅立葉變換定律告訴我們,如果一個(gè)信號(hào)在時(shí)域是有限的,則它的頻譜就會(huì)擴(kuò)展到無(wú)窮大,如果它的帶寬是有限的,則它在時(shí)域上就是無(wú)限的｡很顯然,我們找不到一個(gè)具有無(wú)窮大周期的時(shí)域信號(hào),所以也不可能有真正的有限帶寬信號(hào)｡不過(guò)絕大部分實(shí)際信號(hào)的頻譜能量都集中在有限帶寬中,因此前面的分析對(duì)這些信號(hào)仍然有效｡采樣正弦信號(hào)可以非常簡(jiǎn)單和方便地檢測(cè)出采樣頻率是否偏低,因?yàn)榛殳B現(xiàn)象是采樣頻率偏低所特有的現(xiàn)象｡正弦信號(hào)的頻譜里的(沖激串函數(shù))尖峰只在相應(yīng)的頻率點(diǎn)出現(xiàn),出現(xiàn)混疊時(shí),尖峰會(huì)移到另一個(gè)頻率點(diǎn),這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著混疊信號(hào)｡ 以下測(cè)試結(jié)果是用Maxim公司最新推出的125Msps､12位ADC:MAX19541測(cè)試得出的｡圖6是它的輸出信號(hào)頻譜,對(duì)應(yīng)的輸入信號(hào)頻率fIN=11.5284MHz｡很明顯,最高的尖峰恰好出現(xiàn)在該頻率點(diǎn)上｡頻譜圖里還有其他一些較小的尖峰,它們是由ADC的非線性引起的諧波造成的,和本文的討論主題無(wú)關(guān)｡由于采樣頻率fSAMPLE = 125MHz,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于奈奎斯特定律要求的輸入信號(hào)頻率的2倍,因此沒(méi)有混疊現(xiàn)象｡如果將輸入頻率提高到fIN = 183.4856MHz,大于fSAMPLE/2,此時(shí)應(yīng)該會(huì)有混疊出現(xiàn)｡圖7是fIN>fSAMPLE/2時(shí)的輸出頻譜圖,主尖峰落在58.48MHz處,這就是混疊信號(hào)｡也就是說(shuō),在58.48MHz出現(xiàn)了一個(gè)原始信號(hào)不包含的信號(hào)｡在圖6和圖7中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜,因?yàn)轭l譜是周期性的,圖中的顯示部分已經(jīng)包含了所有必要信息｡ 5 結(jié)論 以上測(cè)試結(jié)果表明采樣定律是信號(hào)采樣應(yīng)用的基本工具,嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析對(duì)于應(yīng)用中的參數(shù)選擇也很重要｡ |
