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除法，這個小學4年紀就開始學習和使用的方法卻一直是我這個ASIC工程師心中的痛。我一直在思考如何能找到一個簡單(硬件資源少)而快捷(時鐘排數少)的通用除法電路。 其實簡單的說除法可以用迭代的減法來實現，但是對于硬件，這恐怕要花很多時間。我也一直沒有找到實現任意除法的好方法。但是對于某些除數固定的除法還是有一些辦法的。 1)最容易想到的就是ROM查找表，但是ROM畢竟不是我們的目標，雖然ROM有時是不錯的方法。 2)我開始仔細考慮這個問題是在做264解碼時必須要處理QP的問題。這是一個除以6的計算，由于被除數不會大于52(6bit)，所以我簡化了一個組合邏輯來實現。代碼如下： always@(idata) begin case(idata[5:3]) 3'b000: begin oquotient[3:1] = 3'b000; if (idata[2:1]==2'b11) begin oquotient[0] = 1'b1; end else begin oquotient[0] = 1'b0; end end 3'b001: begin oquotient[3:2] = 2'b00; if (idata[2]==1'b1) begin oquotient[1:0] = 2'b10; end else begin oquotient[1:0] = 2'b01; end end 3'b010: begin oquotient[3:1] = 3'b001; if (idata[2:1]!=2'b00) begin oquotient[0] = 1'b1; end else begin oquotient[0] = 1'b0; end end 3'b011: begin oquotient[3:1] = 3'b010; if (idata[2:1]==2'b11) begin oquotient[0] = 1'b1; end else begin oquotient[0] = 1'b0; end end 3'b100: begin oquotient[3:2] = 2'b01; if (idata[2]==1'b1) begin oquotient[1:0] = 2'b10; end else begin oquotient[1:0] = 2'b01; end end 3'b101: begin oquotient[3:1] = 3'b011; if (idata[2:1]!=2'b00) begin oquotient[0] = 1'b1; end else begin oquotient[0] = 1'b0; end end 3'b110: begin oquotient[3:1] = 3'b100; if (idata[2:1]==2'b11) begin oquotient[0] = 1'b1; end else begin oquotient[0] = 1'b0; end end 3'b111: begin oquotient[3:2] = 2'b10; if (idata[2]==1'b1) begin oquotient[1:0] = 2'b10; end else begin oquotient[1:0] = 2'b01; end end default: oquotient[3:0] = 4'd0; endcase end //always@(idata) //begin // case(idata[3:1]) // 3'b000: rem_temp[1:0] = 2'b00; // 3'b001: rem_temp[1:0] = 2'b01; // 3'b010: rem_temp[1:0] = 2'b10; // 3'b011: rem_temp[1:0] = 2'b00; // 3'b100: rem_temp[1:0] = 2'b01; // 3'b101: rem_temp[1:0] = 2'b10; // 3'b110: rem_temp[1:0] = 2'b00; // 3'b111: rem_temp[1:0] = 2'b01; // default:rem_temp[1:0] = 2'b00; // endcase //end // //always@(idataor rem_temp) //begin // oremainder[0] = idata[0]; // case(idata[5:4]) // 2'b00,2'b11: oremainder[2:1] = rem_temp[1:0]; // 2'b01: oremainder[2:1] = {(~(rem_temp[1] | rem_temp[0])),rem_temp[1]}; // 2'b10: oremainder[2:1] = {rem_temp[0],(~(rem_temp[1] | rem_temp[0]))}; // default: oremainder[2:1] = rem_temp[1:0]; // endcase //end 可見這個邏輯并不是很大，求商的邏輯不過是一個3bit的case里面套一級選擇(if)，FPGA里不過就是一個ALU。時序也很好，百兆的鐘都沒有問題。我由此想到了，對于除數固定，被除數有一定范圍限制的除法，還是可以用一定簡化了邏輯實現的。 3)以下我們討論的除法就由此先做一個前提的約束：被除數是8bit，除數我們將分別討論3、5、7、11等質數的情況，其它的和數的除法可以分解成質數。 4) 除數為3(二進制2‘b11) 我最早的想法其實很簡單，除以3是很困難的，但是除以4對于硬件確實非常簡單的。所以也許可以通過對1/4進行一些調整來達到1/3的目的。這顯然是要在1/4上加一點什么，加什么呢?我突然想到了無窮級數： 1/4 1/16 1/64 ......... 其無窮級數求和和剛好是1/3。這似乎就簡單了。不就是1/4 +1/16 +1/64 + ......... 有一件事情是可能的，我們不能求無窮的加和，但是如果我們只要整數位，那也許就不需要無窮的加完。 temp[14：0] = {number[7:0],6'd0} + {number[7:0],4'd0} + {number[7:0],2'd0} + number[7:0]; result1[7:0] = temp[14:8] + ((number[7]==1'b1 && number[6:0]!=7'd0)? temp[7] : temp[7]&temp[6]); number是8bit被除數，temp是number若干(這里這用了前4個)移位值的和，但是我們明白，這是不精確的，所以對此和進行一些調整。調整的方向一定是加一點什么(因為我們少加了很多數)，result1就是這個調整的邏輯。 從整體上看看這個邏輯：4個14位數的加法，一個選擇邏輯和單bit加。邏輯不算太小(14bit加法電路還是不小的)，但是也不算太大(畢竟就是4個加法)。時序由加法電路來限制，綜合的好應該到百兆是沒有問題的。 5)除數為5(3'b101) 1/5顯然和1/4比較近。我們仍然可以比較方便的寫出這個無窮級數來： 1 - 1/4 + 1/16 - 1/64 ........... 這個的和是4/5不是1/5，但是再除個4就好了(這很方便的)。 temp[13:0]={number[7:0],6'd0} - {number[7:0],4'd0} + {number[7:0],2'd0} - number[7:0] + number[7:2] - number[7:4]; result1[7:0] = temp[13:6] + temp[5]; result2[5:0] = result1[7:2]; temp是number的6個移位值的和，result1是調整后的值，result2是result/4的商。這個邏輯怎么要加6個值的和呢?其實就是近似問題，如果加的個數少，那么后面那個調整電路就會復雜些。 6)除數為7(3'b111) 這個和1/3其實是類似的，我就不贅述了。 7)除數為11(4'b1011) 這個有點煩，和11近的2^n是8或16，這個級數似乎不好找。但是我一覺醒來突然明白了一個事情：任何一個小數都是可以化為2進制表示的，而其2進制表示其實就是一個2^n的數列的和，只不過是換了一種形式吧了。 于是1/11就是0.0001011101 | 0001011101 | 0001011101 | ........... temp[14:0] = {number[7:0],6'd0} + {number[7:0],4'd0} + {number[7:0],3'd0} + {number[7:0],2'd0} + number[7:0] + number[7:4]; result1[7:0] = temp[14:10] + (temp[9]&temp[8]&temp[7]&temp[6]); 精度仍然只取了前6個有效的(是1)的數，然后在result1上做了一些補足的調整。 8)總結：其實到這里我們就已經清除了一件事----所有除數固定的除法都可以用上述確定的過程來實現。具體說就是：第一，將除數n變成乘以1/n，然后用2進制來表示這個1/n。第二，根據被除數的位數來選取合適的1/n的有效位數。第三，再根據具體的結果做一些調整。 1/N取多少有效位合適，取決與被除數的范圍(被除數較大，就要多取幾位)、邏輯大小的控制(加法越多，可能你的門數和時序多要付出代價)、一級最后那個調整的復雜程度(總不能太復雜吧)。 好了，到這里就先告一段落吧，但是我仍然沒有從根本上真正解決任意除法的問題。我心中的通看來還要持續。不知有誰能最終來替我排解。 |
