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連續控制的精度是開關控制所不可比擬的，但連續控制的高精度也是有代價的，這就是穩定性問題。控制增益決定了控制作用對偏差的靈敏度。既然增益決定了控制的靈敏度，那么越靈敏豈不越好？非也。 還是用汽車的定速巡航控制做例子。速度低一點，油門加一點，速度低更多，油門加更多，速度高上去當然就反過來。但是如果速度低一點，油門就加很多，速度更低，油門狂加，這樣速度不但不能穩定在要求的設定值上，還可能失控。這就是不穩定。所以控制增益的設定是有講究的。在生活中也有類似的例子。國民經濟過熱，需要經濟調整，但調整過火，就要造成“硬著陸”，引起衰退；衰退時需要刺激，同樣，刺激過火，會造成“虛假繁榮”。要達成“軟著陸”，經濟調整的措施需要恰到好處。這也是一個經濟動態系統的穩定性問題。 實際中到底多少增益才是最合適的，理論上有很多計算方法，但實用中一般是靠經驗和調試來摸索最佳增益，業內行話叫參數整定。如果系統響應在控制作用后面拖拖沓沓，大幅度振蕩的話，那一般是積分太過；如果系統響應非常神經質，動不動就打擺子，呈現高頻小幅度振蕩的話，那一般是微分有點過分。中頻振蕩當然就是比例的問題了。不過各個系統的頻率都是不一樣的，到底什么算高頻，什么算低頻，這個幾句話說不清楚，應了毛主席那句話：“具體情況具體分析”，所以就打一個哈哈了。 再具體說起來，參數整定有兩個路子。一是首先調試比例增益以保證基本的穩定性，然后加必要的積分以消除余差，只有在最必要的情況下，比如反映遲緩的溫度過程或容量極大的液位過程，測量噪聲很低，才加一點微分。這是“學院派”的路子，在大部分情況下很有效。但是工業界有一個“歪路子”：用非常小的比例作用，但大大強化積分作用。這個方法是完全違背控制理論的分析的，但在實際中卻是行之有效，原因在于測量噪聲嚴重，或系統反應過敏時，積分為主的控制規律動作比較緩和，不易激勵出不穩定的因素，尤其是不確定性比較高的高頻部分，這也是***“穩定壓倒一切”的初衷吧。 在很多情況下，在初始PID參數整定之后，只要系統沒有出現不穩定或性能顯著退化，一般不會去重新整定。但是要是系統不穩定了怎么辦呢？由于大部分實際系統都是開環穩定的，也就是說，只要控制作用恒定不變，系統響應最終應該穩定在一個數值，盡管可能不是設定值，所以對付不穩定的第一個動作都是把比例增益減小，根據實際情況，減小1/3、1/2甚至更多，同時加大積分時間常數，常常成倍地加，再就是減小甚至取消微分控制作用。如果有前饋控制，適當減小前饋增益也是有用的。在實際中，系統性能不會莫名其妙地突然變壞，上述“救火”式重新整定常常是臨時性的，等生產過程中的機械或原料問題消除后，參數還是要設回原來的數值，否則系統性能會太過“懶散”。 對于新工廠，系統還沒有投運，沒法根據實際響應來整定，一般先估計一個初始參數，在系統投運的過程中，對控制回路逐個整定。我自己的經驗是，對于一般的流量回路，比例定在0.5左右，積分大約1分鐘，微分為0，這個組合一般不致于一上來就出大問題。溫度回路可以從2、5、0.05開始，液位回路從5、10、0開始，氣相壓力回路從10、20、0開始。既然這些都是憑經驗的估計，那當然要具體情況具體分析，不可能“放之四海而皆準”。 微分一般用于反應遲緩的系統，但是事情總有一些例外。我就遇到過一個小小的冷凝液罐，直徑才兩英尺，長不過5英尺，但是流量倒要8-12噸/小時，一有風吹草動，液位變化非常迅速，不管比例、積分怎么調，液位很難穩定下來，常常是控制閥剛開始反應，液位已經到頂或到底了。最后加了0.05的微分，液位一開始變化，控制閥就開始抑制，反而穩定下來了。這和常規的參數整定的路子背道而馳，但在這個情況下，反而是“唯一”的選擇，因為測量值和控制閥的飽和變成穩定性主要的問題了。 對工業界以積分為主導控制作用的做法再啰嗦幾句。學術上，控制的穩定性基本就是漸近穩定性，BIBO穩定性是沒有辦法證明漸近穩定性時的“退而求其次”的東西，不怎么上臺面的。但是工業界里的穩定性有兩個看起來相似、實質上不盡相同的方面：一個當然是漸近穩定性，另一個則是穩定性，但不一定向設定值收斂，或者說穩定性比收斂性優先這樣一個情況。具體來說，就是需要系統穩定在一個值上，不要動來動去，但是不是在設定值并不是太重要，只要不是太離譜就行。例子有很多，比如反應器的壓力是一個重要參數，反應器不穩定，原料進料比例就亂套，催化劑進料也不穩定，反應就不穩定，但是反應器的壓力到底是10個大氣壓還是12個大氣壓，并沒有太大的關系，只要慢慢地但是穩定地向設定值移動就足夠了。這是控制理論里比較少涉及的一個情況，這也是工業上時常采用積分主導的控制的一個重要原因。 前面說到系統的頻率，本來也就是系統響應持續振蕩時的頻率，但是控制領域里有三撥人在搗騰：一撥是以機電類動力學系統為特色的電工出身，包括航空、機器人等，一撥是以連續過程為特色的化工出身的，包冶金、造紙等，還有一撥是以微分方程穩定性為特色的應用數學出身的。在瓦特和抽水馬桶的年代里，各打各的山頭，井水不犯河水，倒也太平。但控制從藝術上升為理論后，總有人喜歡“統一”，電工幫搶了先，好端端的控制理論里被塞進了電工里的頻率。童子們哪，那哪是頻率啊，那是……復頻率。既然那些**的電工幫（啊耶，這下鹿踹真的要來了）能折騰出虛功率，那他們也能折騰出復頻率來，他們自虐倒也算了，只是苦了我等無辜之眾，被迫受此精神折磨。 事情的緣由是系統的穩定性。前面提到，PID的參數如果設得不好，系統可能不穩定。除了摸索，有沒有辦法從理論上計算出合適的PID參數呢？前面也提到，動態過程可以用微分方程描述，其實在PID的階段，這只是微分方程中很狹窄的一支：單變量線性常微分方程。要是還記得大一高數，一定還記得線形常微的解，除了分離變量法什么的，如果自變量時間用t表示的話，最常用的求解還是把exp(λt)代入微分方程，然后解已經變成λ的代數方程的特征方程，解出來的解可以是實數，也可以是復數，是復數的話，就要用三角函數展開了（怎么樣，大一噩夢的感覺找回來一點沒有？）。只要實根為負，那微分方程就是穩定的，因為負的指數項最終向零收斂，復根到底多少就無所謂了，對穩定性沒有影響。但是，這么求解分析起來還是不容易，還是超不出“具體情況具體分析”，難以得出一般的結論。 法國人以好色、好吃出名，但是他們食色性也之后，還不老實，其中一個叫拉普拉斯的家伙，搗鼓出什么拉普拉斯變換，把常微分方程變成s的多項式。然后那幫電工的家伙們，喜歡自虐，往s里塞jω，就是那個復頻率，整出一個**的頻率分析，用來分析系統的穩定性。不過說**，也不完全公平，在沒有計算機的年代，各種圖表是最有效的分析方法，還美其名曰“幾何分析”。頻率分析也不例外。 美國佬Evans搞出一個根軌跡（root locus），思路倒是滿有意思的。他用增益作自變量，將系統的根（不管實的虛的）在復平面上畫出軌跡來，要是軌跡在左半平面打轉轉，那就是實根為負，就是穩定的。再深究下去，系統響應的臨界頻率之類也可以計算出來。最大的好處是，對于常見的系統，可以給出一套作圖規則來，熟練的大牛、小牛、公牛、母牛們，眼睛一瞄，隨手就可以畫出根軌跡來，然后就可以告訴你，增益變化多多少，系統開始振蕩，再增加多少，系統會不穩定，云云。 根軌跡還是比較客氣的，還有更**的奈奎斯特、伯德和尼科爾斯法，想想腦子都大。都是叫那幫電工分子害的。時至今日，計算機分析已經很普及了，但是古典的圖示分析還是有經久不衰的魅力，就是因為圖示分析不光告訴你系統是穩定還是不穩定，以及其他一些動態響應的參數，圖示分析還可以定性地告訴你增益變化甚至系統參數變化引起的閉環性能變化。咦，剛才還不是在說人家**嗎？呃，**也有**的魅力不是？哈哈。 以頻率分析（也稱頻域分析）為特色的控制理論稱為經典控制理論。經典控制理論可以把系統的穩定性分析得天花亂墜，但有兩個前提：一、要已知被控對象的數學模型，這在實際中不容易得到；二、被控對象的數學模型不會改變或漂移，這在實際中更難做到。對簡單過程建立微分方程是可能的，但簡單過程的控制不麻煩，經驗法參數整定就搞定了，不需要費那個麻煩，而真正需要理論計算幫忙的回路，建立模型太困難，或者模型本身的不確定性很高，使得理論分析失去意義。經典控制理論在機械、航空、電機中還是有成功的應用，畢竟從F=ma出發，可以建立“所有”的機械系統的動力學模型，鐵疙瘩的重量又不會莫名其妙地改變，主要環境參數都可以測量，但是經典控制理論至少在化工控制中實用成功的例子實在是鳳毛麟角，給你一個50塊塔板的精餾塔，一個氣相進料，一個液相進料，塔頂、塔底出料加一個側線出料，塔頂風冷冷凝器，塔底再沸器加一個中間再沸器，你就慢慢建模去吧，等九牛二虎把模型建立起來了，風冷冷凝器受風霜雨雪的影響，再沸器的高壓蒸汽的壓力受友鄰裝置的影響，氣相進料的溫度和飽和度受上游裝置的影響而改變，液相進料的混合組分受上游裝置的影響而改變，但組分無法及時測量（在線氣相色譜分析結果要45分鐘才能出來），動態特性全變了。 老家伙歌德兩百年前就說了，理論是灰色的，生命之樹常青。我們知道馬鹿喜歡金光的或者銀光的，至少也要紅的，不過只好將就啦，青綠地干活。在實用中，PID有很多表兄弟，幫著大表哥一塊打天下。 比例控制的特點是：偏差大，控制作用就大。但在實際中有時還嫌不夠，最好偏差大的時候，比例增益也大，進一步加強對大偏差的矯正作用，及早把系統拉回到設定值附近；偏差小的時候，當然就不用那么急吼吼，慢慢來就行，所以增益小一點，加強穩定性。這就是雙增益PID（也叫雙模式PID）的起源。 想想也對，高射炮瞄準敵機是一個控制問題。如果炮管還指向離目標很遠的角度，那應該先盡快地把炮管轉到目標角度附近，動作猛一點才好；但炮管指向已經目標很近了，就要再慢慢地精細瞄準。工業上也有很多類似的問題。雙增益PID的一個特例是死區PID（PID with dead band），小偏差時的增益為零，也就是說，測量值和設定值相差不大的時候，就隨他去，不用控制。這在大型緩沖容器的液位控制里用得很多。本來緩沖容器就是緩沖流量變化的，液位到底控制在什么地方并不緊要，只要不是太高或太低就行。但是，從緩沖容器流向下游裝置的流量要盡可能穩定，否則下游裝置會受到不必要的擾動。死區PID對這樣的控制問題是最合適的。但是天下沒有免費的午餐。死區PID的前提是液位在一般情況下會“自動”穩定在死區內，如果死區設置不當，或系統經常受到大幅度的擾動，死區內的“無控”狀態會導致液位不受限制地向死區邊界“挺進”，最后進入“受控”區時，控制作用過火，液位向相反方向不受限制地“挺進”，最后的結果是液位永遠在死區的兩端振蕩，而永遠不會穩定下來，業內叫hunting（打獵？打什么？打鹿？）。雙增益PID也有同樣的問題，只是比死區PID好一些，畢竟只有“強控制”和“弱控制”的差別，而沒有“無控區”。在實用中，雙增益的內外增益差別小于2：1沒有多大意義，大于5：1就要注意上述的持續振蕩或hunting的問題。 雙增益或死區PID的問題在于增益的變化是不連續的，控制作用在死區邊界上有一個突然的變化，容易誘發系統的不利響應，平方誤差PID就沒有這個問題。誤差一經平方，控制量對誤差的曲線就成了拋物線，同樣達到“小偏差小增益、大偏差大增益”的效果，還沒有和突然的不連續的增益變化。但是誤差平方有兩個問題：一是誤差接近于零的時候，增益也接近于零，回到上面死區PID的問題；二是很難控制拋物線的具體形狀，或者說，很難制定增益在什么地方拐彎。對于第一個問題，可以在誤差平方PID上加一個基本的線性PID，是零誤差是增益不為零；對于后一個問題，就要用另外的模塊計算一個連續變化的增益了。具體細節比較瑣碎，將偏差送入一個分段線性化（也就是折線啦）的計算單元，然后將計算結果作為比例增益輸出到PID控制器，折線的水平段就對應予不同的增益，而連接不同的水平段的斜線就對應于增益的連續變化。通過設置水平段和斜線段的折點，可以任意調整變增益的曲線。要是“野心”大一點，再加幾個計算單元，可以做出不對稱的增益，也就是升溫時增益低一點，降溫時增益高一點，以處理加熱過程中常見的升溫快、降溫慢的問題。 雙增益或誤差平方都是在比例增益上作文章，同樣的勾當也可以用在積分和微分上。更極端的一種PID規律叫積分分離PID，其思路是這樣的：比例控制的穩定性好，響應快，所以偏差大的時候，把PID中的積分關閉掉；偏差小的時候，精細調整、消除余差是主要問題，所以減弱甚至關閉比例作用，而積分作用切入控制。概念是好的，但具體實施的時候，有很多無擾動切換的問題。 這些**的PID在理論上很難分析系統的穩定性，但在實用中解決了很多困難的問題。大言不慚一句，這些PID本人在實際中都用過。打仗時，如果敵人太頑固，要么換更大的炮，把敵人轟倒；要么采用更巧妙的戰術，把敵人暈倒�？刂埔彩且粯�，單回路PID難以解決的問題，常�？梢酝ㄟ^更巧妙的回路結構來解決。 單一的PID回路當然可以實現擾動抑制，但要是主要擾動在回路中，而且是明確的，加一個內回路作幫手是一個很不錯的主意。還記得洗熱水澡的例子嗎？要是熱水壓力不穩定，老是要為這個而調整熱水龍頭，那很麻煩。要是有一個人專門負責根據熱水壓力調節熱水流量，把熱水壓力穩定下來，而且穩定在標定值，那洗澡的時候，水溫就容易控制多了，只要告訴那個人現在需要多少熱水流量，而不必煩心熱水壓力對熱水流量的影響。這個負責熱水流量的控制回路就是內回路，也叫副回路，而洗澡的溫度就是外回路，也叫主回路，當然是主回路指揮副回路，就像自動化指揮機械化、學自控的人指揮學機電的人……打住打住，再扯遠了要挨鹿踹了，或者馬踹、牛踹、驢踹……。這種主回路套副回路的結構叫串級控制（cascade control），曾經是單回路PID后工業上第一種“先進過程控制”，現在串級已經用得很多了，也不再有人叫它“先進過程控制”了。串級控制最主要的功用是抑制回路內的擾動，增強總體控制性能。不過串級也不能亂用。如果主回路和副回路的相應速度差不多，或者主回路的相應速度甚至慢于副回路（通過**的調試是可以做到的），這樣的串級要出問題。理論上可以用共振頻率什么的分析，但是不用費那個事，用膝蓋想想就知道，一個急性子的頭兒把一個溫吞水的下屬指揮得團團轉，結果只能是大家都精疲力竭，事情還辦砸了。相反，一個鎮定自若的頭兒指揮一個手腳麻利的下屬，那事情肯定辦得好。 如果主要擾動在回路以外，但是可以預知，那就要用另一個辦法，就是馬鹿前面說到的前饋了。還是用洗熱水澡的例子。如果冷水管和同一個水房的抽水馬桶功用，你在洗澡，別人一抽水，那你就變煮熟的龍蝦了（本想說猴子PP的，但是那個不雅，我們要五講四美不是？）。這個時候，要使那個人在抽水的同時告訴你一聲 ，你算好時間，算好量，猛減熱水，那溫度還是可以大體不變的。這就是所謂前饋控制（feedforward control）。前饋控制有兩個要緊的東西：一是定量的擾動對被控變量的影響，也就是所謂前饋增益；二是擾動的動態，別人抽水到洗澡龍頭的水溫變熱，這里面有一個過程，不是立時三刻的。如果可以精確知道這兩樣東西，那前饋補償可以把可測擾動完全補償掉。但實際上沒有精確知道的事情，要是指望前饋來完全補償，弄巧成拙是肯定的。所以前饋通常和反饋一起用，也就是在PID回路上再加一個前饋。一般也只用靜態前饋，也就是只補償擾動對被控變量的靜態影響，而忽略擾動的動態因素，主要是為了靜態前饋已經把前饋80%的好處發掘出來了，動態前饋既復雜又不可靠，在PID回路里很少有人用。理論上的前饋都是在PID的控制作用上再加一個前饋作用，實際上也可以乘一個控制作用。乘法前饋的作用太猛，我從來沒有用過，一般都是用加法。在實施中，前饋是和擾動的變化（也就是增量）成比例的，所以擾動變量不變了，前饋作用就消失，否則，整定前饋控制增益會對PID主回路造成擾動。前饋增益可以根據粗略計算得到，比如說，抽水的量會造成溫度下降多少、需要調整多少熱水流量才能維持溫度，這不難從熱量平衡算出來。不想費這個事的話，也可以從歷史數據中推算。一般算出來一個前饋增益后，打上7折甚至5折再用，保險一點，不要矯枉過正。 前饋作用一般是用作輔助控制作用的，但是在特殊情況下，前饋也可以作為“預加載”（pre-loading）作為基準控制作用。比如說，在一個高壓系統的啟動過程中，壓力可以從靜止狀態的常壓很快地什到很高的壓力。高壓系統不容許閥門大幅度運動，所以控制增益都比較低，但是這樣一來，啟動升壓過程中，壓力控制的反應就十分遲緩，容易造成壓力過高。這時用壓縮機的轉速或高壓進料的流量作前饋，將壓力控制閥“預先”放到大概的位置，然后再用反饋慢慢調節，就可以解決這個問題。 有點搞笑兄在前面提到用單個閥門有時難以控制大范圍變化的流量，這是一個很實際的問題。工業閥門一般turn down只有10：1，也就是說，如果這個閥門的最大流量是100噸/小時的話，低于10噸/小時就難以控制了，當然，高于90噸/小時也幾近失去控制。所以，要真的保證0-100的精確控制，需要將一個大閥和一個小閥并列，小閥負責小流量時的精確控制，大閥負責大流量時的精確控制，這就是所謂的分程控制（split range control）。分程控制時，小閥首先打開，超過小閥最大流量是小閥就固定在全開位置，大閥開始打開，接過控制。這是開-開型分程控制。也有關-開型分程控制，比如反應器夾套溫度控制，隨溫度逐漸上升，冷卻水逐漸關閉，直到冷卻水全關，加熱蒸氣開始打開。分程控制當然不一定只有兩截，三截甚至更多都是可以的，道理都一樣。分程控制的問題在于不同閥門的交接點。閥門在特別小的開度時，控制非常不靈敏，前面說到的10：1也是這個道理。所以實用中，開-開型分程控制常常在交接點附近有一段重疊，也就是小閥快要全開但還沒有全開時，大閥已經開始動作，這樣，到小閥全開、不能再動彈時，大閥已經進入有效控制范圍。關-開型分程控制常常在交接點設置一個死區，避免出現兩個閥都有一點點開度的情況。分程控制的交接點的設置有一點講究，應該根據閥的大小。比如A閥比B閥大一倍，那分程點應該設在1/3先開B閥，而不是懶漢做法的1/2。 很多過程參數都是可以測量的，但也有很多參數是沒法直接測量的，這時，如果能夠通過別的可以測量的過程參數來間接計算真正需要控制的參數，這就是所謂的推斷控制（inferential control）。比如精餾塔頂的產品純度可以用氣相色譜（gas chromatograph，GC）來測量，但結果要等40分鐘才能出來，用來做實時控制，黃花菜都涼了。推斷控制是和“軟傳感器”（soft sensor）的概念緊密相連的。 對精餾塔塔頂純度這個例子來說，可以用純度和塔頂溫度、壓力作一個數學模型，用可以測量的溫度和壓力，間接計算出純度。在計算機控制普及的今天，這是很容易實現的，但是在很多地方，推斷控制仍然被看成很神秘的東西，悲哀。 有的時候，對同一個變量有不止一個控制手段。比如說，風冷器有風扇的轉速可以調節，也有百葉窗的開度可以調節。風扇轉速的效果快，控制精確；百葉窗開度的效果猛，不容易掌握，但有利于節能。所以，可以用風扇的快速響應來控制溫度，但是用百葉窗開度來通過溫度間接地緩慢地影響風扇的轉速，使風扇轉速回到最經濟的設定。當然百葉窗開度的控制回路必須要比風扇轉速的控制回路整定得慢得多，一般是緩慢的純積分控制，否則兩人要打架。由于這相當于控制風扇轉速的“閥位”，工業上稱其為閥位控制（valve position control）。這個閥位控制也可以變一變，風扇轉速高于某一數值（比如80%的最大轉速）時，把百葉窗開大一格，還是高就繼續開大；風扇轉速低于某一數值（比如低于20%最大轉速）時，把百葉窗關小一格。這實際上是一個單向的積分作用，不同的地方有兩點： 一、有兩個設定值，由風扇轉速是高還是低而定 二、積分作用只有在風扇轉速在這兩個“極限”的外面起作用，在里面時，百葉窗的開度不變 這樣，風扇轉速不必回到一個特定值，而是可以在一個范圍內浮動。 另外一個，兩個控制器“競爭”一個控制閥的情況是選擇性控制（override control或selective control）。舉個例子，鍋爐的溫度由燃料流量控制，溫度高了，燃料流量就減下來，但是燃料流量低到燃料管路壓力低于爐膛壓力，那要出現危險的回火，所以，這時，燃料管路壓力就要接管控制，而犧牲爐膛溫度。換句話說，正常時候，爐膛溫度控制起作用，燃料管路壓力低于一定數值時，燃料管路壓力控制器作用。在實施時，就是爐膛溫度控制器和燃料管路壓力控制器的輸出都接到一個高選器，然后高選器的輸出接到實際的燃料閥。這個概念很清楚，但是初次接觸選擇性控制的人，常常容易被高選還是低選搞糊涂，明明是壓力太低，怎么是高選呢？其實，只要記住高選還是低選是從閥門這一頭看的，和溫度、壓力的高度沒有關系。如果“非常”變量超過界限了，你要閥門打開，那就是高選；你要閥門關閉，那就是低選。 PID從二、三十年到開始在工業界廣泛應用，戲法變了幾十年，也該換換花樣了。PID說一千道一萬，還是經典控制理論的產物。50-60年代時，什么都要現代派，建筑從經典的柱式、比例、細節的象征意義，變到“形式服從功能”的鋼架玻璃盒子；汽車從用機器牽引的馬車，變到流線型的鋼鐵的藝術；控制理論也要緊跟形勢，要現代化。這不，美國佬卡爾曼隆重推出……現代控制理論。 都看過舞龍吧？一個張牙舞爪的龍頭氣咻咻地追逐著一個大繡球，龍身子扭來扭去，還時不時跳躍那么一兩下。中國春節沒有舞龍，就和洋人的圣誕節沒有圣誕老人一樣不可思議。想象一下，如果這是一條看不見的盲龍，只能通過一個人在龍尾巴后面指揮龍尾巴，然后再通過龍身體里的人一個接一個地傳遞控制指令，最后使龍頭咬住繡球。這顯然是一個動態系統，龍身越長，人越多，動態響應越遲緩。如果只看龍頭的位置，只操控龍尾巴，而忽略龍身子的動態，那就是所謂的輸入-輸出系統。經典控制理論就是建立在輸入-輸出系統的基礎上的。對于很多常見的應用，這就足夠了。 但是卡爾曼不滿足于“足夠”。龍頭當然要看住，龍尾巴當然要捏住，但龍身體為什么就要忽略呢？要是能夠看住龍身體，甚至操縱龍身體，也就是說，不光要控制龍尾巴，控制指令還要直接傳到龍身體里的那些人，那豈不更好？這就是狀態空間的概念：將一個系統分解為輸入、輸出和狀態。輸出本身也是一個狀態，或者是狀態的一個組合。在數學上，卡爾曼的狀態空間方法就是將一個高階微分方程分解成一個聯立的一階微分方程組，這樣可以使用很多線形代數的工具，在表述上也比較簡潔、明了。 卡爾曼是一個數學家。數學家的想法就是和工程師不一樣。工程師腦子里轉的第一個念頭就是“我怎么控制這勞什子？增益多少？控制器結構是什么樣的？”數學家想的卻是什么解的存在性、唯一性之類虛頭八腦的東西。不過呢，這么說數學家也不公平。好多時候，工程師憑想象和“實干”，辛苦了半天，發現得出的結果完全不合情理，這時才想起那些“性”（不要想歪了啊，嘿嘿），原來那些存在性、唯一性什么的還是有用的。 還是回過來看這條龍�，F在，龍頭、龍尾巴、龍身體都要看，不光要看，還要直接操控龍頭到龍尾的每一個人。但是，這龍不是想看就看得的，不是想舞就舞得的。說到“看”，直接能夠測量/觀測的狀態在實際上是不多的，所謂看，實際上是估算。要是知道龍身體有多少節（就是有多少個人在下面撐著啦），龍身體的彈性/韌性有多少，那么捏住龍尾巴抖一抖，再看看龍頭在哪里，是可以估算出龍身體每一節的位置的，這叫狀態觀測。那么，要是這龍中間有幾位童子開小差，手不好好拉住，那再捏住龍尾巴亂抖也沒用，這時系統中的部分狀態就是不可觀測的。如果你一聲令下，部分童子充耳不聞，那這些狀態就是不可控制的。卡爾曼從數學上推導出不可控和不可觀的條件，在根本上解決了什么時候才不是瞎耽誤工夫的問題。這是控制理論的一個重要里程碑。 再來看這條龍。如果要看這條龍整齊不整齊，排成縱列的容易看清楚；如果要清點人數，看每一個人的動作，排成橫列的容易看清楚。但是不管怎么排，這條龍還是這條龍，只是看的角度不同。那時候中國人的春節舞龍還沒有在美國的中國城里鬧騰起來，不知道卡爾曼有沒有看到過舞龍，反正他把數學上的線性變換和線性空間的理論搬到控制里面，從此，搞控制的人有了工具，一個系統橫著看不順眼的話，可以豎著看，因為不管怎么看，系統的本質是一樣的。但是不同的角度有不同的用處，有的角度設計控制器容易一點，有的角度分析系統的穩定性容易一點，諸如此類，在控制理論里就叫這個那個“標準型”。這是控制理論的又一個里程碑。 觀測狀態的目的最終還是控制。只用輸出的反饋叫輸出反饋，經典控制理論里的反饋都可以歸到輸出反饋里，但是用狀態進行反饋的就叫狀態反饋了。輸出反饋對常見系統已經很有效了，但狀態反饋要猛得多。你想想，一個系統的所有狀態都被牢牢地瞄住，所有狀態都乖乖地聽從調遣，那是何等的威風？臺商的大奶們的最高境界呀。 盡管學控制的人都要學現代控制理論，但大多數人記得卡爾曼還是因為那個卡爾曼濾波器（Kalman Filter）。說它是濾波器，其實是一個狀態觀測器（state observer），用來從輸入和輸出“重構”系統的狀態。這重構聽著玄妙，其實不復雜。不是有系統的數學模型嗎？只要模型精確，給它和真實系統一樣的輸入，它不就乖乖地把系統狀態給計算出來了嗎？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身決定，還有一個初始條件，要是初始條件不對，微分方程的解的形式是正確的，但是數值永遠差一拍。卡爾曼在系統模型的微分方程后再加了一個尾巴，把實際系統輸出和模型計算的理論輸出相比較，再乘上一個比例因子，形成一個實際上的狀態反饋，把狀態重構的偏差漸進地消除，解決了初始條件和其他的系統誤差問題�？柭鼮V波器最精妙之處，在于卡爾曼推導出一個系統的方法，可以考慮進測量噪聲和系統本身的隨機噪聲，根據信噪比來決定上述比例因子的大小。這個構型其實不是卡爾曼的獨創，隆伯格（Luenburg）也得出了類似的結構，但是從系統穩定性角度出發，來決定比例因子。同樣的結構大量用于各種“預測-校正”模型結構，在工業上也得到很多應用，比如聚合反應器的分子重量分布可以用反應器的溫度、進料配比、催化劑等來間接計算，但不夠精確，也無法把林林總總的無法測量的干擾因素統統包括進數學模型里，這時用實驗室測定的真實值來定期校正，就可以結合數學模型及時的特點和實驗室結果精確的特點，滿足實時控制的要求，這或許可以算靜態的卡爾曼濾波器吧。卡爾曼濾波器最早的應用還是在雷達上。所謂邊掃描邊跟蹤，就是用卡爾曼濾波器估計敵機的位置，再由雷達的間隙掃描結果來實際校正。實際應用中還有一個典型的問題：有時候，對同一個變量可以有好幾個測量值可用，比如有的比較直接但不精確，有的是間接的估算，有很大的滯后但精確度高，這時可以用卡爾曼濾波器把不同來源的數據按不同的信噪比加權“整合”起來，也算是民用版的“傳感器融合”（sensor fusion）吧。 除了卡爾曼濾波器外，卡爾曼的理論在實際中用得不多，但是卡爾曼的理論在理論上建立了一個出色的框架，對理解和研究控制問題有極大的作用。順便說一句，卡爾曼的理論基本局限于線形系統，也就是說，十塊大洋買一袋米，二十塊大洋就買兩袋米，都是成比例的。實際系統中有很多非線性的，兩千塊大洋還能買兩百袋米，但兩千萬大洋就要看米倉有沒有貨了，市場漲不漲價了，不是錢越多，買的米越多，有一個非線性的問題。非線性的問題研究起來要復雜得多。實際系統還有其他特性，有的是所謂時變系統，像宇宙火箭，其質量隨時間和燃料的消耗而變，系統特性當然也就變了。很多問題都是多變量的，像汽車轉彎，不光方向盤是一個輸入，油門和剎車也是輸入變量。但是，狀態空間的理論在數學表述上為線性、非線性、單變量、多變量、時變、時不變系統提供了一個統一的框架，這是卡爾曼最大的貢獻。 前面說到，搞控制有三撥人：電工出身的，化工出身的，和應用數學出身的。在卡爾曼之前，電工出身的占主導地位，數學家們好在象牙塔里打轉轉，化工出身則還對控制理論懵里懵懂，還在“實干”呢。卡爾曼之后，一大批數學出身的人，利用對數學工具的熟悉，轉攻控制理論。一時間，控制理論的數學化似乎成了“天下大勢，順我者昌，逆我者亡”了。在狀態空間的框架下，多變量沒有太多的問題好研究，于是最優化成為控制理論的新時尚。 對于一根給定的曲線，求一階導數為零的點，就是這個曲線的極點；在對這一極點求二階導數，大于零就是最小點，小于零就是最大點。這時牛頓老爺子就整明白的東東，現在高中或大一人人都學過的東西。但是動態系統是一個微分方程，對微分方程求一階導數為零，就導致變分法和所謂歐拉方程。但這個東西用起來不方便。實際的最優控制不大直接使用變分。 俄羅斯是一個奇怪的地方。老毛子們要么蔫蔫的，要么瘋狂的。俄羅斯的悲劇電影看得你也郁悶得想去自殺。但是老毛子要是搭錯筋整出一個喜劇呢？那你要么跟著瘋狂，要么被逼瘋狂。就是這么一個地方，除了無數托爾斯泰、柴可夫斯基、普希金、屠格涅夫等文藝巨璧外，俄羅斯也盛產數學家，其中兩個是龐特里亞京和河里學控制的人老惦記著的李亞普諾夫。 龐特里亞京的極大值原理聽起來嚇人，其實說白了很簡單�？匆娔巧絾�？山頂就是最高點（切，這還用你說嗎？）；看見那山坡嗎？要是在山腰劃一道線，從山下往上爬，盡管山坡還在繼續往上延伸，但是到線為止，不得逾越，那山腰上那道三八線就是最高點（切，這還用說？）。這就是龐特里亞京的極大值原理。當然啦，龐特里亞京是用精巧、深奧的數學語言表述的，要不然他在數學界里也別混了。不過呢，意思就是這么一個意思。 龐特里亞京極大值原理的一個典型應用就是所謂最速控制問題，或者叫時間最優控制（time optimal control）問題，簡單地說，就是給定最大馬力和最大剎車功率，怎么開汽車能夠最快地從A點開到B點（什么轉彎、上下坡、紅綠燈，這種瑣碎的事情也要拿來煩人？一點品味都沒有�。�。你可以用優美但繁瑣的數學求證，或者用膝蓋想想，最快的方法，就是一上來就加足馬力，全速前進；然后在不到終點的某一地點，全力剎車，使慢下來的汽車在到達終點時正好停下來。這時最快的方法，不可能比這更快了。稍微發揮一點想象力，可以想象“梆”的一下，控制量的油門板一腳到底，再是“梆”的一下，剎車板一腳到底，控制任務就完成了。所以最速控制也叫“梆-梆”控制（bang bang control）。 最速控制在理論上是一個很有趣的問題，解法也是簡潔、優美，但在實際中直接使用的例子實在是鳳毛麟角，一般都是開始時用“梆-梆”，或者勻速上升到最大控制，以緩和控制的沖擊力；到終點附近時，改用PID作閉環微調，以克服“梆-梆”的系統模型誤差十分敏感的缺點。電梯控制就是這樣一個例子。從一樓到四樓，電動機很快勻速上升到最高轉速，一過三樓，電動機就勻速下降到較低的轉速，然后根據電梯實際位置和樓面之差，有控制地減速，直至停下來。要是控制參數調得好的話，一下子就穩穩當當地停下來；要是調的不夠好，會在停下來之前上下晃蕩幾下。 |
