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來源：Digi-Key 作者：Bonnie Baker 20 世紀(jì) 30 年代，Hendrik Wade Bode 將電路的穩(wěn)定性作為唯一目標(biāo)，創(chuàng)造了一種直觀的增益/相位方法。這就是現(xiàn)在所說的波特圖，一種直觀的對(duì)電路或放大器增益、相位和反饋系統(tǒng)進(jìn)行頻率圖形展示的方法。 鑒于其有用性和重要性，讓我們花些時(shí)間來了解一下波特穩(wěn)定性分析技術(shù)，看看以分貝 (dB) 和相位響應(yīng)（度）為單位的開環(huán)放大器和電路反饋系數(shù)的量級(jí)。這篇博客將探討上述概念并給出建議，并在你的主要目標(biāo)是頻率穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)如何避免設(shè)計(jì)出一個(gè)“顫抖”電路。 為了練習(xí)這種技術(shù)，你可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊(cè)的資源中下載一個(gè)可打印的波特圖版本。 單極點(diǎn)波特圖 單極點(diǎn)電路的配置允許直流 VIN 信號(hào)直接進(jìn)入 VOUT，而在較高的輸入頻率下，VOUT 等于零分貝 (dB)。波特圖的構(gòu)造很簡單。Y 軸的單位是頻率的對(duì)數(shù)，X 軸是線性單位增益分貝或相位度數(shù)。在設(shè)計(jì)波特圖時(shí)，已經(jīng)有相當(dāng)多的公式可以應(yīng)用，但我們要直接體驗(yàn)這個(gè)快速解決方法。 波特圖之所以簡單性，是因?yàn)楫媹D時(shí)只需要一個(gè)直尺工具并知道一些規(guī)則即可（圖 1）。 
圖 1：展示幅度和相移的單極點(diǎn)波特圖使用了直線來顯示電路的頻率和相位響應(yīng)。（圖片來源：Bonnie Baker） 圖 1 中的兩幅圖表示了單極點(diǎn)電阻/電容對(duì)的頻率相對(duì)增益和相位的關(guān)系。上下兩幅圖的 X 軸頻率范圍為 1 赫茲 (Hz) 到 10 兆赫 (MHz)。上圖 Y 軸范圍從 0 分貝 (dB) 到 100 dB，其中 1 Hz 的信號(hào)值等于 100 dB。這個(gè)值與 100,000 x VIN 的增益因子一致。藍(lán)色曲線是在 fP 或 100 Hz 時(shí)的單極點(diǎn)增益響應(yīng)，其中 R 等于 159 千歐 (kΩ)，C 等于 10 納法拉 (nF)。 當(dāng)頻率增加超過極點(diǎn)頻率 (fP) 時(shí)，藍(lán)色曲線以 -20dB /十倍頻程或 -6dB/八倍頻程速率下降。這個(gè)衰減率是要記住的第一個(gè)波特圖的經(jīng)驗(yàn)法則：電路中的每個(gè)極點(diǎn)從極點(diǎn)頻率開始都會(huì)以 -20dB/十倍頻程的速率下降。因此，如果兩個(gè)極點(diǎn)在相同的頻率范圍內(nèi)對(duì) VOUT 進(jìn)行衰減，則衰減率為-40dB/十倍頻程。 圖 1 中的下圖表示了這個(gè)單極點(diǎn)電路的相位。在 1Hz 時(shí)，R/C 網(wǎng)絡(luò)的相位為 0 度 (°)。在 fP 前的一個(gè)十倍頻程，或者在這個(gè)例子中的 10 Hz 情形下，單極點(diǎn)相位開始以 -45°/十倍頻程的速度向其 -90° 目標(biāo)下降。 有幾個(gè)規(guī)則適用于極點(diǎn)的相位響應(yīng)。極點(diǎn)電路的第二個(gè)波特圖經(jīng)驗(yàn)法則是，在 fP 處相位等于 -45°。第三和第四條波特圖法則描述了衰減和完成的相位點(diǎn)。單極點(diǎn)相位在極點(diǎn)頻率 (fP) 的前一個(gè)十倍頻程開始下降，并在 fP 的后一個(gè)十倍頻程最終定在 -90°。 單零點(diǎn)波特圖 單零點(diǎn)波德圖反映了單極點(diǎn)波德圖的相反規(guī)則。位置切換，R 和 C 值相同，以阻止直流 VIN 電壓，同時(shí)允許較高頻率通過電容器（圖 2）。
圖 2：展示幅度和相移的單零點(diǎn)波特圖。（圖片來源：Bonnie Baker） 當(dāng)頻率增加超過 fZ 時(shí)，藍(lán)色曲線以 +20dB/十倍頻程的速率上升。圖 2 中的下圖展示了這個(gè)單零點(diǎn)電路的相位。在 fZ 前的一個(gè)十倍頻程，單零點(diǎn)相位開始以 +45°/十倍頻程的速度向其 +90° 的目標(biāo)上升。在 fZ 處，零點(diǎn)電路相位等于 +45°。 總結(jié)一下圖 1 中的值，極點(diǎn)位置是 fP，fP 之后的增益幅度有一個(gè) -20dB/十倍頻程的斜率。相位通過 fP 時(shí)有 -45°/十倍頻程的斜率，相位在 0.1x fP 時(shí)開始衰減，在 10x fP 時(shí)穩(wěn)定到 -90°。總結(jié)一下圖 2 中的值，零點(diǎn)位置是 fZ，fZ 之后的增益幅度有一個(gè) +20dB/十倍頻程的斜率。相位通過 fZ 時(shí)有 +45°/十倍頻程的斜率，相位在 0.1x fZ 時(shí)開始衰減，在 10x fZ 時(shí)穩(wěn)定到 +90°。 放大器開環(huán)波特圖 標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算放大器產(chǎn)品的頻率操作從亞赫茲到零 dB 截止頻率的傳遞函數(shù)中會(huì)有多個(gè)極點(diǎn)和零點(diǎn)。放大器波特圖沒有任何神奇之處，只需遵循規(guī)則即可（圖 3）。
圖3：展示幅度和相移的運(yùn)算放大器可能波特圖。（圖片來源：Bonnie Baker） 圖 3 展示了一個(gè)運(yùn)算放大器實(shí)例，其傳遞函數(shù)中有兩個(gè)極點(diǎn)（f1 和 f2）。有了這兩個(gè)極點(diǎn)，增益每次下降 -20dB/十倍頻程，相位總共下降 -180 度。 到目前為止，我們對(duì)如何構(gòu)建波特圖有了一個(gè)良好的開始，但具體落實(shí)到實(shí)際項(xiàng)目上來時(shí)，其中還有一個(gè)反饋系統(tǒng)在其中。 閉環(huán)放大器系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果你花點(diǎn)時(shí)間看一下運(yùn)放電路，就會(huì)發(fā)現(xiàn)反饋網(wǎng)絡(luò)的存在。經(jīng)典的運(yùn)算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)有一個(gè)增益正向元件 (AOL(jω)) 和反饋元件 (β(jω))。
圖 4：經(jīng)典運(yùn)放反饋網(wǎng)絡(luò)有一個(gè)前饋元件 (AOL(jω)) 和反饋元件 (β(jω))。（圖片來源：Bonnie Baker） 在圖 4 中，運(yùn)算放大器 (AOL) 的開環(huán)增益相對(duì)較大，而反饋系數(shù)相對(duì)較小。這種配置將輸出送回反相端，創(chuàng)造了一個(gè)負(fù)反饋條件，這種反饋使輸出受到控制。我們將使用 β 的倒數(shù)或 1/β 來確定運(yùn)放電路的穩(wěn)定性。 計(jì)算 1/β 的最簡單方法是在運(yùn)放的非反相輸入端放置一個(gè)稱為 VSTABILITY 的電壓源。這個(gè)計(jì)算策略將提供一個(gè)很好的路徑來確定電路的穩(wěn)定性（圖 5）。
圖 5：非反相運(yùn)放電路 a.) 和反相運(yùn)放電路 b.) 在其非反相輸入端都有一個(gè)虛構(gòu)的 VSTABILITY 電壓源，以便準(zhǔn)確計(jì)算電路的 1/β 系數(shù)，或噪聲增益。（圖片來源：Bonnie Baker） 如果你檢查圖 5 中的電路，就會(huì)發(fā)現(xiàn)從非反相端到輸出端的反饋電路是一樣的。VSTABILITY 電壓源的位置能夠準(zhǔn)確計(jì)算出電路的 1/β 系數(shù)，或噪聲增益。 1/β 穩(wěn)定性分析使用了 VSTABILTIY。如果你假設(shè)運(yùn)放的開環(huán)增益是無限的，那么兩個(gè)電路的傳遞函數(shù)就等于：
等式 1
等式 2
等式 3 當(dāng)?shù)仁?3 的頻率成分 jω 等于零時(shí)：
等式 4 當(dāng)?shù)仁?3 中 jω 接近無窮大時(shí)：
等式 5 1/β 的零點(diǎn) (fZ) 和極點(diǎn) (fP) 的頻率為：
等式 6
等式 7 符合上述規(guī)則的 1/β 的穩(wěn)定性分析曲線的波特圖如圖 6 所示。
圖6：圖 5 a.) 和 b.) 的 1/β 頻率響應(yīng)是相同的。零點(diǎn)出現(xiàn)在較低的頻率，而極點(diǎn)則出現(xiàn)在較高的頻率。（圖片來源：Bonnie Baker） 圖 6 描述了運(yùn)算放大器電路的 1/β 的頻率和相位響應(yīng)或噪聲增益。該圖以圖形形式總結(jié)了等式 4 至 7。等式 4 和 5 定義了直流增益和 Y 增益。等式 6 和 7 確定了電路的零點(diǎn)和極點(diǎn)。圖 3 和圖 6 中的信息通過定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以及極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，為確立運(yùn)放電路的穩(wěn)定性提供了第一步。最后一步是將圖 3 和圖 6 疊加成一個(gè)圖形。 系統(tǒng)穩(wěn)定性的確定 開環(huán)和閉環(huán)增益的交叉點(diǎn)或截止率定義了電路的相移。一般來說，截止率小于或等于 30 dB 表明電路是穩(wěn)定的。截止率大于 30dB，就會(huì)走向不穩(wěn)定的電路狀態(tài)（圖 7）。
圖 7：疊加的運(yùn)算放大器的 AOL 增益和相位響應(yīng)與 1/β 增益和相位響應(yīng)。（圖片來源：Bonnie Baker） 在圖 7 中，AOL 和 1/β 增益曲線之間的截止率等于 40 dB。40dB 的截止率表明相移大于 135°，這顯示了一個(gè)不穩(wěn)定的電路。在這種配置下，180° 的截止率會(huì)產(chǎn)生一個(gè)振蕩的電路。 對(duì)上述問題有許多解決辦法。可以通過移動(dòng)極點(diǎn)和零點(diǎn)頻率來改變電阻或電容值。另一個(gè)辦法是選擇不同的運(yùn)算放大器（圖 8）。
圖 8：在不改變零點(diǎn)和極點(diǎn)頻率的情況下，使用帶寬高于圖 7 中運(yùn)算放大器的運(yùn)算放大器。（圖片來源：Bonnie Baker） 在圖 8 中，在不改變 1/β 網(wǎng)絡(luò)的情況下，運(yùn)算放大器的帶寬大約高出兩個(gè)十倍頻程。綠色的虛線反映了實(shí)際的計(jì)算結(jié)果，并提供了一個(gè)更真實(shí)的波特圖。放大器帶寬的增加使截止率從 40 dB 變?yōu)?20 dB。由此產(chǎn)生的相移現(xiàn)在是 ~105°，表示電路是穩(wěn)定的。 圖 8 中的綠色虛線超越了用尺子和鉛筆繪制的波德圖，包括了真實(shí)世界的響應(yīng)。 測量電路的增益和相位 測量一個(gè)放大器電路的增益和相位需要一個(gè)提供輸入信號(hào)的函數(shù)發(fā)生器，以及一個(gè)網(wǎng)絡(luò)分析儀（圖 9）。代表性的是 Tabor Electronics LS3081B 3 GHz 射頻模擬掃頻函數(shù)發(fā)生器。
圖 9：圖 5 b.) 的反相放大器電路的增益和相位測量配置。（圖片來源：Bonnie Baker） 在圖 9 中，函數(shù)發(fā)生器的輸入信號(hào)的應(yīng)用發(fā)生在端口 1 到 VSTABILITY 節(jié)點(diǎn)。信號(hào)通過放大器電路傳播到電路的輸出端 (VOUT)，網(wǎng)絡(luò)分析儀在端口 2 捕捉到信號(hào)并與函數(shù)發(fā)生器的端口 1 信號(hào)進(jìn)行比較。 結(jié)語 當(dāng)進(jìn)行穩(wěn)定型運(yùn)算放大器電路設(shè)計(jì)時(shí)，波特圖是一個(gè)非常有用的工具，一定加到你的裝備庫中。當(dāng)開始研究多極點(diǎn)和多零點(diǎn)電路時(shí)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)波特圖的巨大潛力。通過放大器開環(huán)增益和反饋網(wǎng)絡(luò)之間的截止率，就可以迅速確定電路的穩(wěn)定性。 雖然這篇博客可以幫助你掌握波特圖的使用，展示了在圖形紙上簡單地使用直尺來估計(jì)一階極點(diǎn)和零點(diǎn)電路的增益與相位的關(guān)系，但最好的學(xué)習(xí)方法還是實(shí)踐。此外，您可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊(cè)的資源中下載波特圖的可打印版本開始。 |
