關于“時間常數”那點事

HWM

先聲明：所有理論基礎都有出處，在此不加證明。說實在，數學那玩意兒不是那么容易從根上加以證明的。就那微積分來說，若不能徹底弄明白“實數”是啥東西，基本上說所作證明都是徒勞。而要徹底玩轉《實數論》本身就不是一件容易的事情。

好了言歸正傳，讓我們一步步地來分析關于“時間常數”那點事。

HWM

先給出電阻，電容，電感和電源在S域（拉普拉斯變換）中的表達方式（在電壓回路方程中）：

電阻：I R
電容：I  / (C S) + U0 / S
電感：I L S - L I0
電源：U / S

其中，I 為電流的S域函數，U 為電源電壓，U0 為電容上的初始電壓，I0 為電感上的初始電流。

HWM

現在分兩種情況分析：

一，容感上的初始電壓和電流為零（即初始條件為零），且回路由理想電壓源激勵。


1） 阻容回路

S域方程：

I R + I / (C S) = U / S

其中I為回路電流的S域函數（拉普拉斯變換），U為所加電源電壓。

由上式解得

I = U C / (R C S + 1)

電容上電壓的S域函數為

Uc = U / S - I R
   = U / S - U R C / (R C S + 1)
   = U / (S (R C S + 1))


2） 阻感回路

S域方程：

I R + I L S = U / S

其中I為回路電流的S域函數（拉普拉斯變換），U為所加電源電壓。

由上式解得

I = (U / R) / (S ((L / R) S + 1))

此便是電感上電流的S域函數。


3） 綜合分析

由上可見，其有一個統一的S域函數形式：

A / (S (T S + 1))

其中：T為時間常數，A為最終極限值

對于阻容回路而言，T = R C，A = U （考慮的是電壓）

而對于阻感回路而言，T = L / R，A = U / R （考慮的是電流）

至于S域函數 A / (S (T S + 1)) 的時域函數，由下表（拉氏逆變換）：

A (1 - e^(-t/T))

即對于阻容回路有：

U(t) = U (1 - e^(-t/(RC)))

而對于阻感回路有：

I(t) = (U / R) (1 - e^(-t/(L/C)))

yewuyi

呵呵，都像HWM老師這么講課，還怕有學生聽不懂嗎？

HWM

二，容感上的初始電壓和電流為非零（即初始條件為非零），且回路無激勵（短路）。


1） 阻容回路

S域方程：

I R + I / (C S) + U0 / S = 0

其中I為回路電流的S域函數（拉普拉斯變換），U0為電容上的初始電壓。

由上式解得

I = - (U0 / R) / (S + 1 / (R C))

電容上電壓的S域函數為

Uc = - I R
   = U0 / (S + 1 / (R C))


2） 阻感回路

S域方程：

I R + I L S - L I0 = 0

其中I為回路電流的S域函數（拉普拉斯變換），I0為電感上的初始電流。

由上式解得

I = I0 / (S + R / L)

此便是電感上電流的S域函數。


3） 綜合分析

由上可見，其有一個統一的S域函數形式：

A / (S + 1 / T)

其中：T為時間常數，A為初始值

對于阻容回路而言，T = R C，A = U0 （考慮的是電壓）

而對于阻感回路而言，T = L / R，A = I0 （考慮的是電流）

至于S域函數 A / (S + 1 / T) 的時域函數，由下表（拉氏逆變換）：

A e^(-t/T))

即對于阻容回路有：

U(t) =  U0 e^(-t/(R C)))

而對于阻感回路有：

I(t) = I0 e^(-t/(L/C))

由此可見，所謂時間常數只是當某物理量變到它的終極值1-1/e（增大）或初始值1/e（減小）倍時所需要的時間。

sunny0203050

S域我已經很久沒看了！前輩講的我有點暈，留個記號以后用時在翻書看看

HWM

最后看一下單諧信號激勵的情形（采用富氏變換）：

一，對于阻容回路來說，可列出下式

Uc  = U Zc / (R + Zc)
      = U / (1 + j ω R C)

二，對于阻感回路來說，可列出下式

Il = U / Z
   = U / (R + j ω L)
   = (U / R) (1 + j ω L / R)

由上可知，當頻率分別為 1 / (R C) 和 R / L 時，Uc 和 Il 分別為其“截止點”，即 1 / (R C) 和 R / L 分別為相應回路的截止頻率。這便是所謂“時間常數”的真正價值所在——“截止周期”。

gaohq

受教了,謝謝HWM老師.

sz_kd

呵呵，的確一些數學變換知識忘了，在學校的時候這些信號與系統知識都不在話下~~~~~~~~~~

wb61850

HWM老師好！

wb61850

俺想，諸多變幻會把人搞糊涂。
時間會倒流嗎

qupeng2008

俺理論，時間被超越就倒流了。。
有點可怕~

HWM

呵呵，愛因斯坦就是不小心玩了一下洛倫茲變換，便差點把時間倒流回去。

粉絲

HWM果然理論強，把拉普拉斯和FFT變換拉進來了，把俺嚇得兩腿發軟啊，大家請安靜，靜靜，要專心聽HWM老師授課，哪位還沒有交學費的趕快補交！

一朝成名

聽HWM老師講課
那個學生在HWM門下，那就幸福死了

chunk

回“夜無衣”：還真聽不懂。

本來看樓主貼鼓起點勇氣，再一看沙發貼：“先給出電阻，電容，電感和電源在S域（拉普拉斯變換）中的表達方式”，一下氣就泄了。括弧里面只有6個字，對我這種底子極薄的菜鳥意味著什么呢？我個人的知識體系是支離破碎的，而且“基礎知識”體系就是破碎的。

HWM

回 16 樓：

不好意識，俺的分析讓你疑惑了。

其實拉普拉斯變換是電路分析中的基礎，雖然人們一般都推崇基氏的方程。但要知道，電路分析在時域上的直接應用是相當有限的，因為其直接要和微分方程打交道，那是相當困難的事情且不“直觀”。若沒有各類變換，電路分析（包括信號分析）決不會發展到現今的水準。因此建議，作為基礎，必須熟悉拉普拉斯變換。此外還有其衍生品——傅立葉變換（對于周波還有傅立葉級數展開）。

拉普拉斯變換并不難，其有許多相當漂亮的特性（篇幅有限不可能意義展開），而且S域上面的基氏方程是線性代數方程，方便求解。

總之，要了解“基礎”，學好“基礎”，這樣才能得到更好的發展。

宇宙飛船

精通拉普拉斯變換必需先精通微積分原理，HWM老師高深莫測！暈啊！

fxhfxh

記號。

跟著菜農混

這些東西剛學沒多久
無奈所有與高數沾邊的，俺都暈，這變換那變換的，都暈