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本文介紹了一個用于計算離散時域(數字)序列的導數的高效計算網絡。本文描述了一個針對遞歸微分網絡的簡單、且可確保線性相位的分接延遲線(有限沖擊響應，或稱FIR)微分器。 在連續信號領域，微分的概念定義明確，而在離散域并非如此。然而，好在我們可以近似計算離散信號的微分。(DSP純化論者更喜歡使用“數字差分器”這一術語，我們還是使用“微分器”)。
要理解微分的概念，可以考慮式(1)的連續正弦波，其頻率為rad./s。 該正弦波的導數為： 因此，正弦波的導數為幅度正比于原始x(t)正弦波頻率的余弦波。根據式(2)，理想微分器的頻率幅度響應隨頻率ω的增加而直線增加。考慮到這一點，對下面兩個普通離散時間FIR(非遞歸)微分器，一個是一階差分器，另一個是一個中心差分器。它們都是估算數字x(n)時域信號序列導數的簡單計算方法。 一階差分器簡單計算連續x(n)信號采樣的差，在時域里定義為： 該微分器的頻率幅度響應為如圖1中的虛線|Hfd(ω)|。作為比較，圖1也示出了一個理想微分器直線|Hidea(ω)|=幅度響應曲線。圖中的頻率軸包括正頻率范圍0≤ω≤π采樣/弧度，對應0"fs/2周期的頻率范圍，其中fs為x(n)采樣率，單位為赫茲。 式3簡潔，但缺點是其|Hfd(ω)|會將高頻噪聲放大，常對真實信號造成干擾。因此，實際上經常使用中間差分微分器。中間差分微分器的時域表達式為： 中間差分微分器的頻率幅度響應為圖1中的點線|Hcd(ω)|。|Hcd(ω)|的理想高頻(噪聲)衰減受到限制，其線性工作頻率范圍為僅從0到約0.16 π采樣/弧度(0.08fs Hz)之間。遺憾的是，該范圍小于一階微分器的線性工作頻率范圍。 上面已經提到，本設計指南介紹一種第三選擇，為一個高效計算微分器，它保持了中間差分微分器的高頻衰減性能優點，同時擴展了其線性工作頻率范圍。該微分器定義為： 該新穎的微分器的歸一化頻率幅度響應為圖1中的實|Hdif(ω)|線，其線性工作頻率范圍為從0"約0.34π采樣/弧度(0.17fs Hz)，為中間差分微分器可用頻率范圍的兩倍。 該微分器的實現如圖2所示，其中一個延遲塊包含兩個單位延遲。該微分器的折疊FIR結構如圖3所示，表示出了對每個ydif(n)輸出采樣，只需進行一次倍乘。ydif(n)微分器的真正靈活性是其非單位系數(±1/16)為2的整數次冪。這樣，可以算術右移4位進行倍乘。這種二進制位右移是一種線性相位無乘法器的微分器。 ydif(n)微分器另一個重要特性是其時間延遲(群延遲)精確地為三個采樣周期(3/fs)，使其可用于流行的FM解調中。 |
