|
作者：ADI公司James Bryant 雖然許多有關調制的描述都將其描繪成一種乘法過程，但實際情況更為復雜。 首先，為清晰起見，若信號Acos)和未調制載波cos(ωt)施加于理想乘法器的兩路輸入，則我們將得到一個調制器。這是因為兩個周期波形Ascos(ωst) 和 Accos(ωct)施加于乘法器（為便于分析，假定比例因子為1 V）輸入端，產生的輸出為： Vo(t) = ½AsAc[cos((ωs + ωc)t) + cos(ωs – ωc)t))] 若載波Accos(ωct)幅度為1 V (Ac = 1)，則該式進一步簡化為： Vo(t) = ½As[cos((ωs + ωc)t) + cos((ωs – ωc)t)] 但在大多數情況下，調制器是執行此功能更好的電路。調制器（用來改變頻率的時候也稱為混頻器）與乘法器密切相關。乘法器的輸出是其輸入的瞬時積。調制器的輸出是該調制器其中一路輸入的信號（稱為信號輸入）和另一路輸入的信號符號（稱為載波輸入）的瞬時積。圖1所示為調制函數的兩種建模方法：作為放大器使用，通過載波輸入上的比較器輸出切換正增益和負增益；或者作為乘法器使用，并在其載波輸入和其中一個端口之間放置一個高增益限幅放大器。兩種架構都可用來形成調制器，但開關放大器架構（用于AD630 平衡調制器中）運行較慢。大多數高速IC調制器含有一個跨導線性乘法器（基于吉爾伯特單元），并在載波路徑上有一個限幅放大器，用來過驅其中一路輸入。該限幅放大器可能具有高增益，允許低電平載波輸入——或者具有低增益和干凈的限幅特性，從而要求相對較大的載波輸入以正常工作。詳細信息請參考數據手冊。 
圖1. 調制函數的兩種建模方法 出于某些原因，我們使用調制器而非乘法器。乘法器的兩個端口均為線性，因此載波輸入的任何噪聲或調制信號都會與信號輸入相乘，降低輸出；同時，大多數情況下可忽略調制器載波輸入的幅度變動。二階特性會導致載波輸入的幅度噪聲影響輸出，但最好的調制器都會盡可能減少這種影響，因此不納入本文的討論范圍。簡單的調制器模型使用由載波驅動的開關。（理想）開路開關具有無限大的電阻和零熱噪聲電流，且（理想）閉路開關具有零電阻和零熱噪聲電壓；因此，雖然調制器的開關并非理想，但相比乘法器而言，調制器依然具有較低的內部噪聲。另外，比起乘法器，設計與制造類似的高性能、高頻率調制器也更為簡便。 與模擬乘法器相同，調制器將兩路信號相乘；但與模擬乘法器不同的是，調制器的乘法運算是非線性的。當載波輸入的極性為正時，信號輸入乘以+1；而當極性為負時，則乘以–1。換言之，信號乘以載波頻率下的方波。 頻率為ωct 的方波可使用傅里葉序列的奇次諧波表示： K[cos(ωct) – 1/3cos(3ωct) + 1/5cos(5ωct) – 1/7cos(7ωct) + …] 對該序列求和：[+1, –1/3, +1/5, –1/7 + ...] 為 π/4。因此，K數值為4/π，這樣當正直流信號施加到載波輸入時，平衡調制器可作為單位增益放大器使用。 載波幅度并不重要，只要它足夠大，可驅動限幅放大器即可；因此，由信號Ascos(ωst)和載波 cos(ωct)驅動的調制器產生的輸出即為信號與載波平方的乘積： 2As/π[cos(ωs + ωc)t + cos(ωs – ωc)t – 1/3{cos(ωs + 3ωc)t + cos(ωs – 3ωc)t} + 1/5{cos(ωs + 5ωc)t + cos(ωs – 5ωc)t} – 1/7{cos(ωs + 7ωc)t + cos(ωs – 7ωc)t} + …] 該輸出包含下列項的頻率之和與頻率之差：信號與載波、信號與載波的所有奇次諧波。理想的完美平衡調制器中不存在偶次諧波乘積。然而在真實調制器中，載波端口的殘余失調會導致低電平偶次諧波乘積。在許多應用中，低通濾波器(LPF)可濾除高次諧波乘積項。請記住，cos(A) = cos(–A), 因此 cos(ωm – Nωc)t = cos(Nωc – ωm)t，并且無需擔心“負”頻率。濾波處理后，調制器輸出可計算如下： 2As/π[cos(ωs + ωc)t + cos(ωs – ωc)t] 它和乘法器輸出的表達式一致，只是增益稍有不同。在實際系統中，增益采用放大器或衰減器進行歸一化，因此此處無需考慮不同系統的理論增益。 在簡單的應用中，顯然使用調制器優于使用乘法器，但如何定義“簡單”？調制器用作混頻器時，信號和載波輸入分別為頻率等于f1 和 fc的簡單正弦波，未經濾波處理的輸出包含頻率和 (f1 + fc) 與頻率差 (f1 – fc) ，以及信號與載波奇次諧波的頻率和與頻率差 (f1 + 3fc), (f1 – 3fc), (f1 + 5fc), (f1 – 5fc), (f1 + 7fc), (f1 – 7fc)。經LPF濾波之后，預計僅得到基波項 (f1 +fc) 和 (f1 –fc)。 然而，若 (f1 + fc) > (f1 – 3fc)，將無法使用簡單的LPF區分基波與諧波項，因為某個諧波項的頻率低于某個基波項。這并非屬于簡單的情況，因此需進一步分析。 如果假設信號包含單一頻率f1，或假設信號更復雜，分布在頻段f1至 f2中，則我們便可分析調制器的輸出頻譜，如下圖所示。假設完美平衡的調制器不存在信號泄漏、載波泄漏或失真，則輸出不含輸入項、載波項和雜散項。輸入以黑色表示（或在輸出圖中以淺灰色表示，哪怕實際上并不存在）。 圖2顯示輸入—位于 f1 至 f2 頻段內的信號，以及頻率為 fc的載波。乘法器不含下列奇次載波諧波：1/3(3fc), 1/5(5fc), 1/7(7fc)…，以虛線表示。請注意，小數1/3、1/5和1/7表示幅度，而非頻率。
圖2. 輸入頻譜，顯示信號輸入、載波和奇次載波諧波 圖3顯示乘法器或調制器的輸出，以及截止頻率為2fc的LPF。
圖3. 使用LPF的乘法器或調制器輸出頻譜 圖4顯示未經濾波處理的調制器輸出（但不含7fc以上的諧波項）。
圖4. 未經濾波處理的調制器輸出頻譜 若信號頻帶f1 至 f2位于奈奎斯特頻帶（直流至 fc/2）內，則截止頻率高于2fc的LPF將使調制器具有與乘法器相同的輸出頻譜。若信號頻率高于奈奎斯特頻率，則情況更復雜。 圖5顯示信號頻帶正好低于fc時將發生的情況。依然有可能分離諧波項和基波項，但此時需使用具有陡峭滾降特性的LPF。
圖5. 信號大于fc/2時的輸出頻譜 圖6顯示由于fc位于信號通帶內，諧波項疊加 (3fc – f1) < (fc + f1)，因此，基波項不再能夠通過LPF與諧波項分離。所需信號此時必須通過帶通濾波器(BPF)進行選擇。 所以，雖然調制器在大部分變頻應用中優于線性乘法器，但設計實際系統時必須考慮到它們的諧波項。
圖6. 信號超過fc時的輸出頻譜 參考文獻 Analog Dialogue Brandon, David. “Multichannel DDS Enables Phase-Coherent FSK Modulation.” Analog Dialogue, Volume 44, Number 4, 2010. Gilbert, Barrie. “Considering Multipliers (Part 1).” Analog Dialogue, Volume 42, Number 4, 2008. Product Pages Mixers/Multipliers Multipliers/Dividers Modulators/Demodulators RAQs Multipliers and Modulators Caveat Emptor Tutorials MT-079: Analog Multipliers MT-080: Mixers and Modulators 作者簡介 James Bryant [james@jbryant.eu] 從1982年起擔任ADI公司歐洲地區的應用經理。他擁有英國利茲大學的物理學和哲學學位，他還是注冊工程師(C.Eng.)、歐洲注冊工程師(Eur.Eng.）、電機工程師協會會員(MIEE)以及對外廣播新聞處(FBIS)會員。除了熱情鉆研工程學外，他還是一名無線電愛好者，他的呼叫代號是G4CLF。 |
