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作者：鳳舞天 上幾天在嵌入式微系統（msOS）群內，網友“南方的風”在咨詢信號系統問題，涉及到離散傅立葉變換復數問題。我因為之前寫過“看得懂的傅立葉變換”，大家希望我解答一下。 說實在，我雖然對于傅立葉變換的物理意義比較了解，也能自己根據自己的感性理解可以推導出公式，但對于復雜的一些比如離散傅立葉等，卻沒有仔細分析過，因為用不著。 群內大部分網友都認為這個東西，就是一頓數學的推導，用matlab套用公式做幾個例子就差不多了，至于很詳細的，尤其是感性的理解，完全沒有。 對于他的問題，我無法直接回答，但是，關于傅立葉變換本身不復雜，但引入了復數之后，因為大家對復數的物理意義都不懂，最后都是屬于理性的公式推導，但最后的結果的物理意義是什么，大家卻都不明白，只知道一堆的數學公式，這個是一種本末導致，所以我認為有必要先搞明白復數的物理意義，只有看得懂復數，有它的感性認識，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的認識。 對于復數，長期困擾著我，無法理解，因為老師從來沒有跟我們解釋過它的物理意義，只是把結果告訴我們，讓我們死記硬背。對于一個無法理解的東西而又想要去理解，最好的辦法是溯源，去了解它的歷史： 復數，最早是在解一元三次方程的時候引入的，當時解一元三次方程，很難解，引入了一個符號設為J，J * J = -1,可以比較容易的解了這個方程，但帶J的那個解，不被大家認可。這是虛數第一次出現，但到了后來，高次解之后，大家發現，J越來越繞不開，并且有規律，N次方程，就有N個包含帶J的解，于是大家認識到一點，一個高次方程，要想解它的解，最佳的捷徑就是從J入手，到了高斯時期，高斯對這個J進行了研究，那個時候是笛卡爾坐標系，但他第一個把J引入坐標系，于是出來了復數坐標系，但他的物理意義是什么呢？他把這個物理意義跟平面坐標的矢量四則運算結合起來，若J * J = -1，恰好滿足一個平面坐標的矢量四則運算，那個時候他意識到，J真實存在。 J的物理意義就是表示另外一個坐標軸，他是一個坐標軸符號，為了區別X軸，引入Y軸，那么必須要用符號標記，所以J是坐標Y軸的符號，這就是它的物理意義，于是就有了a+bJ。 有了復平面其實就是用一個數來表征一個平面數據，而J只是一個符號，那么這個符號的四則運算肯定不同于數字運算邏輯，假如符號運算邏輯跟數字運算邏輯等價，是不可以理解的，那么這樣下，J * J = -1,這個就可以理解了，J * J = 1反而不能理解，因為這個J是符號，這個是符號的四則運算邏輯，它必須要跟數字的運算邏輯不同，甚至相反。而現在恰恰相反，滿足了我們的實際需要，這樣數學進入了平面時代。 那個時候三角函數發明了，并且非常興起，而三角函數是典型的平面坐標體系，于是大家想到了用復平面來表征三角函數，這個里面，歐拉做了最大的貢獻，那就是歐拉公式:e^iπ+1=0。它把數的基本邏輯搞明白了，出來了完美的公式，而后期的傅立葉變換，大家也開始引入了正交復平面坐標系來表征一維信號，發現得到了一個完美統一的表達方式：把一維信號，用二維正交復平面坐標系來描述，這個相對于常規的，一維信號，用三角函數正交坐標系描述，在形式上更統一。但是，我們人的思維，一直停留在一維上，希望一維的信號，用一維的另外一個信號來表征，三角函數正交系（普通傅立葉變換）的表達都讓很多人暈乎了，何況還是的正交復平面二維坐標系，這個就導致了理解上的難度。其次，我們的教育，虛數是在高中時期引入的，那個時候老師根本不明白虛數的意義，到了大學，我們往往把結果當成了真理來運用，不去溯源而忘乎了復數的歷史起源，可以說，復數的起源，是很多初期數學家困惑的東西，就如同量子理論一樣，大家都在不停的否定中，被迫承認，后來發現好處，尤其形式上的完美統一，最后，反而進入了自我循環的獨立體系，卻最后忘記了它的物理意義，任何東西，必須要有物理意義，拋棄物理意義，只是推導，那只需要計算機就可以了，不需要人。 復數的引入，最大的價值，讓我們的思維開闊了，可以引入N維度的思維，這個在實際中有很多應用，而基于這種思維的應用，一般可以做一些高、精、尖的產品，以避免同質化競爭。 |
