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TT-VGT（Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss）機器人是由多個四面體組成的變幾何桁架機器人,圖1所示為由N個四面體單元組成的冗余度TT-VGT機器人操作手,平面ABC為機器人的基礎平臺,基本單元中各桿之間由較鉸連接,通過可伸縮構件li(i=1,2,…,n)的長度變化改變機構的構形。圖2所示為其中的兩個單元的TT-VGT機構,設平面ABC和平面BCD的夾角用中間變量qi(i=1,2,…,n)表示,qi與li(I=1,2,…,n)的關系如下： 式中,d表示TT-VGT中不可伸縮構件的長度, li表示機器人可伸縮構件的長度。 TT-VGT機器人關節驅動力F與力矩τ的關系為： F=Bττ (2) 式中,Bτ為對角矩陣,對角元素Bτi為： 1 狀態模型 機器人的自適應控制是與機器人的動力學密切相關的。機器人的動力學方程的一般形式可如下表示（不考慮外力的作用）： τ=D（q）q+C(q,q)q+G(q)q (4) 式中,D（q）∈R n×n為廣義質量矩陣（慣性矩陣）, C（q,q）∈Rn×(n×n)為向心力及哥氏力作用的矩陣, G（q）∈R n為重力矩陣, τ∈R n表示機器人的驅動力矩。 對于TT-VGT機器人,用桿件變量li,ii,Li（i=1,2…,n）代替中間變量qi,qi,qi（i=1,2…,n）（見式（1））,則試（4）可表示為： F=D（l）l+C（l,i）i+G(l)l (5) 式中,F∈Rn表示機器人的驅動力。 可把式（5）表示為下列狀態方程： x=A(x,t)x+B(x,t)F （7） 式中, 上述機器人動力學模型就是機器人自適應控制器的調節對象。 考慮到傳動裝置的動力學控制系統模型如下式所示： 式中,u、l——傳動裝置的輸入電壓和位移矢量, Ma、Ja、Ba——傳動裝置的驅動力矩比例系數、轉動慣量和阻尼系數（對角矩陣）。 聯立求解式（5）和式（9）,并定義： 可求得機器人傳動系統的時變非線性狀態模型如下： 2 Lyapunov模式參考自適應控制器設計 定理 設系統的運動方程為： e=Ae+Bφr （13） φ=-RB T Per (14) 式中,e為n維向量,r為l維向量,A、B、φ分別為（n×n）、（n×m）、（m×l）維滿秩矩陣,R與P分別為（m×m）、（n×n）維正定對稱矩陣。 假若矩陣P滿足Lyapunov方程： PA+A TP=-Q （15） 式中,Q為（n×n）維正定對稱矩陣。 同該系統的平衡點e,φ是穩定的。 如果向量r又是由l個或更多不同頻率的分量所組成,那么該平衡點還是漸近穩定的。其證明可參看文獻。選擇如下的穩定的線性定常系統為參考模型： y=Amx+Bmr （16） 式中,y——參考模型狀態矢量： 式中,∧1——含有ωi項的（n×n）對角矩陣, ∧2——含有2ξωi項的n×n對角矩陣。 式（18）表示n個含有指定參數ξ和ωi的去耦二除微分方程式： yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r （19） 令控制器輸入為：u=Kxx+Kur （20） 式中,Kx、Ku——可調反饋矩陣和前饋矩陣。 根據式（20）可得式（11）的閉環系統狀態模型為： x=As(x,t)x+Bs(x,t)u （21） 式中,As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx,Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku (22) 將式（12）代入式（22）,可得： 適當地設計Kxi、Ku,能夠使式（11）所示系統與式（16）所代表的參考模型完全匹配。 定義狀態誤差矢量為： e=y-x （24） 則e=Ame+（Am-As）x+(Bm-Bs)r （25） 控制目標是為Kx和Ku找出一種調整算法,使得狀態誤差趨近于零,即： 對腳式（13）與式（14）,選取正定Lyapunov函數V為： 式中,P——正定矩陣, FA和FB——正定自適應增益矩陣。 對上式微分,得 根據Lyapunov穩定性理論,保證滿足式（24）為穩定的充要條件是V為負定,由此可求得： 將式（22）求導并與式（30）聯立求解,同時考慮到控制器穩定時式（11）所示系統與式（16）所代表的參考模型完全匹配,可得 由此已得到控制器的自適應控制律。 3 TT-VGT機器人的神經網絡自適應控制 本文采用直接MRAC（模型參考自適應控制）神經網絡控制器對TT-VGT機器人進行控制。在圖3中,NNC（神經網絡控制器）力圖維持機器人輸出與參考模型輸出之差e（t）=l(t)-lm(t) →。即通過誤差反傳,并采用上節的自適應算法,調節NNC,使得其輸出控制機器人運動到誤差e(t)為0。 神經網絡模型如圖4所示。 4 實例分析 以四得四面體為例,如圖5所示建立基礎坐標系,末端參考點H位于末端平臺EFG的中點。設參考點H在基礎坐標系中,從點（0.8640,-0.6265,0.5005）直線運動到點（1.8725,0.5078,0.7981）,只實現空間的位置,不實現姿態。運動的整個時間T設定5秒,運動軌跡分為等時間間隔的100個區間。不失一般性要求,末端在軌跡的前40個區間勻加速度運動（a=0.2578）,中間20個工間勻速度運動,最后40個區間勻減速度運動（a=-0.2578）,開始和結束時的末端速度為。設各定長構件長度為1m,機構中各桿質量為1kg,并將質量向四面體各頂點對稱簡化。 傳動裝置的參數如下： Ma=4.0×10e -3kg·m/V;Ba=0.01N·m/(rad·s -1); 近似認為各關節電動機軸上的總轉動慣量在運動過程中保持不變,其值分別為： J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2; J3=0.537kg·m2;J4=0.338kg·m2 末端位置誤差曲線如圖6所示。從誤差曲線可看出,用神經網絡自適應控制的機器人位置控制精度較高,穩定性較好。 本文提出采用直接MRAC神經網絡自適應器對機器人進行軌跡控制的方案;建立機器人狀態模型,推導出自適應控制算法,并對冗余度TT-VGT機器人軌跡控制進行了仿真。結果表明,該方案控制誤差較小,穩定性較好。 |
