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在微機化的儀器儀表控制軟件中，特別是快速控制軟件中，或因直接計算過于復雜，或因只有經驗數據沒有理論公式，常采用查表插值法計算某些數據。 一般適合于插值法的函數是光滑性較好的函數。所謂“光滑性較好”是指以下兩個方面： ◆連續且盡量高階地可導； ◆其泰勒展開式中高次項的絕對值較小。 采用多項式插值時，若提高多項式次數，除了增加計算量(在高速實時控制的程序中，計算速度是很重要的問題)外，從數學上看還有若干缺點，故實際應用中一般不用太高的次數。拋物線插值(三點二次插值)是常用的一種。 提高精度的另一途徑是增加節點密度。對于三點二次插值，節點密度若能提高二倍，則截斷誤差大約可以縮小到原來的1／8。但是這樣一來數據表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度間存在著矛盾。 本文介紹一種“四點二次插值”算法，與普通三點=次插值相比，節點密度不變，計算量也差不多，但精度(最大誤差限)大致相當于節點密度提高二倍的效果。 四點二次插值的思想是：計算(xk,xk+1)區間的插值時，用(xk-1,xk,)的三點二次插值結果和(xk,xk+1)的三點二次插值結果相平均，作為最后結果。若采用等距節點，間距為h，根據這個思想，不難推出以下計算公式： 與普通的三點二次插值法對比，可以看出計算量差不多(乘法次數相同，除以4可以用移位實現)。 下面粗略分析其精度。 二次插值誤差余項應有三個零點，此法中xk和k+1是其兩個零點。顯然，如果第三個零點在x1和xk+1的中點處，則其精度和節點密度提高二倍后的三點二次插值法相同。 設(xk-1,xk，xk+1)的三點二次插值誤差余項為R1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三點二次插值誤差余項為R2(x)則四點二次插值的誤差余項為 系數K(ξ1′,ξ2)反映中點xm處四點二次插值的誤差，比原來三點二次插值的誤差減小的程度。若f'''(x)是常數，則k(ξ1，ξ2)=0，因而R(xm)=0。也就是說，R(z)第三個零點在xm處，達到上文所述的效果。 對于比較光滑的函數，f'''(x)在小區間內不會變化太大，故k(ξ1,ξ2)式中的分子絕對值應較小。若K(ξ1，ξ2)近于0，則R(xm)也近于0，R(x)的零點仍在xm附近，效果與上述接近。可以證明(限于篇幅．證明略)，只要f'''(ξ1)與f'''(ξ)之比在O.5～2之間，則第三個零點必然在xk和xk+1之間。 若K(ξ1,)絕對值較大即f'''(ξ2)與f'''(ξ2)之比距1較遠)，或，f'''(ξ1)與，f…(ξ2)反號，則零點不在中點附近，此時精度并沒有明顯提高，但不會比原來的情況差。這必然是K(ξ1,ξ2)式中的分母絕對值太小，也就是說，是處在，f'''(x)過零或近于零的區域。 對于較光滑的函數，原三點二次插值法的截斷誤差大致正比于其三階導數，因此三階導數較大的區域也是精度最差的區域。f'''(x)過零或近于零的區域中，誤差本來就遠小于其它區域。綜上所述，四點二次插值法與之相比，在三階導數較大的區域，精度大致改進到相當于節點密度提高二倍后的三點二次插值法；在三階導數近于0的區域，則不會比原來三點二次插值法差。從實用的角度，可以說已經實現了上文所說的效果。 另外，還可以指出，這個算法中的v1、v2都是由數據表中相鄰項的差值產生的，絕對值常常較小，故乘法常可以采用低精度乘。這一點在以較低檔的微處理器構成的應用系統中是有實際意義的。如下面AVR單片機的程序中，結果是雙字節精度，但其中乘法為單字節。 下面將給出以MCS-96單片機匯編語言和AVR單片機匯編語言編寫的程序實例。 實例中，取間隔h為2的整數冪。這樣，定點形式的自變量只要采用簡單的移位，即可以得出整數的k和純小數的“，作為下列程序的入口參數。在MCS一96單片機的程序中，k和u均取雙字節；在AVR單片機的程序例中，k和u均取單字節，但結果為雙字節。 這是一個應用程序中用來查幾種數據表的子程序。因為這些表都是增函數，故下面設計中認定“[v2×u′+v1]必為正”。表中相鄰項的差，符合程序注釋中的要求(特別是第二個例子vl、v2為單字節)，否則程序需要適當調整。說明：以下y′、yO加、yl和y2即上文中的fxk-1)，f(xk)，f(xk+1)和f(xk+2)。 |
