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在微機(jī)化的儀器儀表控制軟件中，特別是快速控制軟件中，或因直接計(jì)算過于復(fù)雜，或因只有經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)沒有理論公式，常采用查表插值法計(jì)算某些數(shù)據(jù)。 一般適合于插值法的函數(shù)是光滑性較好的函數(shù)。所謂“光滑性較好”是指以下兩個(gè)方面： ◆連續(xù)且盡量高階地可導(dǎo)； ◆其泰勒展開式中高次項(xiàng)的絕對(duì)值較小。 采用多項(xiàng)式插值時(shí)，若提高多項(xiàng)式次數(shù)，除了增加計(jì)算量(在高速實(shí)時(shí)控制的程序中，計(jì)算速度是很重要的問題)外，從數(shù)學(xué)上看還有若干缺點(diǎn)，故實(shí)際應(yīng)用中一般不用太高的次數(shù)。拋物線插值(三點(diǎn)二次插值)是常用的一種。 提高精度的另一途徑是增加節(jié)點(diǎn)密度。對(duì)于三點(diǎn)二次插值，節(jié)點(diǎn)密度若能提高二倍，則截?cái)嗾`差大約可以縮小到原來的1／8。但是這樣一來數(shù)據(jù)表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度間存在著矛盾。 本文介紹一種“四點(diǎn)二次插值”算法，與普通三點(diǎn)=次插值相比，節(jié)點(diǎn)密度不變，計(jì)算量也差不多，但精度(最大誤差限)大致相當(dāng)于節(jié)點(diǎn)密度提高二倍的效果。 四點(diǎn)二次插值的思想是：計(jì)算(xk,xk+1)區(qū)間的插值時(shí)，用(xk-1,xk,)的三點(diǎn)二次插值結(jié)果和(xk,xk+1)的三點(diǎn)二次插值結(jié)果相平均，作為最后結(jié)果。若采用等距節(jié)點(diǎn)，間距為h，根據(jù)這個(gè)思想，不難推出以下計(jì)算公式： 與普通的三點(diǎn)二次插值法對(duì)比，可以看出計(jì)算量差不多(乘法次數(shù)相同，除以4可以用移位實(shí)現(xiàn))。 下面粗略分析其精度。 二次插值誤差余項(xiàng)應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn)，此法中xk和k+1是其兩個(gè)零點(diǎn)。顯然，如果第三個(gè)零點(diǎn)在x1和xk+1的中點(diǎn)處，則其精度和節(jié)點(diǎn)密度提高二倍后的三點(diǎn)二次插值法相同。 設(shè)(xk-1,xk，xk+1)的三點(diǎn)二次插值誤差余項(xiàng)為R1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三點(diǎn)二次插值誤差余項(xiàng)為R2(x)則四點(diǎn)二次插值的誤差余項(xiàng)為 系數(shù)K(ξ1′,ξ2)反映中點(diǎn)xm處四點(diǎn)二次插值的誤差，比原來三點(diǎn)二次插值的誤差減小的程度。若f'''(x)是常數(shù)，則k(ξ1，ξ2)=0，因而R(xm)=0。也就是說，R(z)第三個(gè)零點(diǎn)在xm處，達(dá)到上文所述的效果。 對(duì)于比較光滑的函數(shù)，f'''(x)在小區(qū)間內(nèi)不會(huì)變化太大，故k(ξ1,ξ2)式中的分子絕對(duì)值應(yīng)較小。若K(ξ1，ξ2)近于0，則R(xm)也近于0，R(x)的零點(diǎn)仍在xm附近，效果與上述接近。可以證明(限于篇幅．證明略)，只要f'''(ξ1)與f'''(ξ)之比在O.5～2之間，則第三個(gè)零點(diǎn)必然在xk和xk+1之間。 若K(ξ1,)絕對(duì)值較大即f'''(ξ2)與f'''(ξ2)之比距1較遠(yuǎn))，或，f'''(ξ1)與，f…(ξ2)反號(hào)，則零點(diǎn)不在中點(diǎn)附近，此時(shí)精度并沒有明顯提高，但不會(huì)比原來的情況差。這必然是K(ξ1,ξ2)式中的分母絕對(duì)值太小，也就是說，是處在，f'''(x)過零或近于零的區(qū)域。 對(duì)于較光滑的函數(shù)，原三點(diǎn)二次插值法的截?cái)嗾`差大致正比于其三階導(dǎo)數(shù)，因此三階導(dǎo)數(shù)較大的區(qū)域也是精度最差的區(qū)域。f'''(x)過零或近于零的區(qū)域中，誤差本來就遠(yuǎn)小于其它區(qū)域。綜上所述，四點(diǎn)二次插值法與之相比，在三階導(dǎo)數(shù)較大的區(qū)域，精度大致改進(jìn)到相當(dāng)于節(jié)點(diǎn)密度提高二倍后的三點(diǎn)二次插值法；在三階導(dǎo)數(shù)近于0的區(qū)域，則不會(huì)比原來三點(diǎn)二次插值法差。從實(shí)用的角度，可以說已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了上文所說的效果。 另外，還可以指出，這個(gè)算法中的v1、v2都是由數(shù)據(jù)表中相鄰項(xiàng)的差值產(chǎn)生的，絕對(duì)值常常較小，故乘法常可以采用低精度乘。這一點(diǎn)在以較低檔的微處理器構(gòu)成的應(yīng)用系統(tǒng)中是有實(shí)際意義的。如下面AVR單片機(jī)的程序中，結(jié)果是雙字節(jié)精度，但其中乘法為單字節(jié)。 下面將給出以MCS-96單片機(jī)匯編語言和AVR單片機(jī)匯編語言編寫的程序?qū)嵗? 實(shí)例中，取間隔h為2的整數(shù)冪。這樣，定點(diǎn)形式的自變量只要采用簡(jiǎn)單的移位，即可以得出整數(shù)的k和純小數(shù)的“，作為下列程序的入口參數(shù)。在MCS一96單片機(jī)的程序中，k和u均取雙字節(jié)；在AVR單片機(jī)的程序例中，k和u均取單字節(jié)，但結(jié)果為雙字節(jié)。 這是一個(gè)應(yīng)用程序中用來查幾種數(shù)據(jù)表的子程序。因?yàn)檫@些表都是增函數(shù)，故下面設(shè)計(jì)中認(rèn)定“[v2×u′+v1]必為正”。表中相鄰項(xiàng)的差，符合程序注釋中的要求(特別是第二個(gè)例子vl、v2為單字節(jié))，否則程序需要適當(dāng)調(diào)整。說明：以下y′、yO加、yl和y2即上文中的fxk-1)，f(xk)，f(xk+1)和f(xk+2)。 |
