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本文主要討論測量50Hz交流暫態中功率因數的方法。電路應該是R-L類型。通過只獲取電流波形，控制相對于電壓波形的插入角在±10°公差范圍內，就可能實現對功率因數的精確測量，并且不確定度很低。利用簡單的數學表達式再加上電流峰值和均方根(RMS)值之間的關系即可計算出功率因數。 一些簡單的操作指令 這種方法專門用于短路實驗室，或需要在短路電流期間(如10個周期)計算功率因數之時。要注意的事項很少，比如在電流是對稱的時候以及控制沒有電流波形包絡的時候測量RMS值。舉例來說，發生器附近的短路次暫態；正弦波形狀的電流等等。 讓我們開始做測量： 通過在電壓過零期間插入電路記錄電流，記錄時間為130ms; 得到電流峰值的絕對值; 得到電流的RMS值，比如90ms之后的值；測量一個完整周期內(20ms) 的RMS值; 計算峰值和RMS值的比值; 我們把這個比值稱為Ikcr，將它插入下面這個公式： 再把這個稱為cosφ的結果插入另外一個公式： 計算cosφ1和err φ之間的差值，結果就是功率因數值： 測量不確定度取決于與電流測量有關的不確定度。例如對于一個電流測量不確定度u為1.2%的系統來說， k=2功率因數時的擴展不確定度等于： 測量值從0.9到0.5時為±0.022 測量值從0.5到0.2時為±0.009 理論 這是RL電路的微分方程。如果v是具有下列方程的交流電壓源： 那么方程[1]的解為： 其中： φ是由arctg(Xl/R)確定的電路特征角： γ是相對于電壓波形的插入角； τ是由L/R確定的電路的時間常數； t是時間(自變量)，可以從0變到+∞。 通過分析方程[2]發現有兩個分量，第一個是周期性的，對稱的，第二個是單向分量，具有依賴于L/R比和插入角γ的漸減指數行為。當γ=0時，這個單向分量具有最大值。 讓我們介紹一種只測量電流的RMS值和峰值就能計算角度φ的方法。這種方法無需任何其它測量，只需以± 10°的精度簡單地控制插入角γ即可。 通過在0.9和0.1之間、并以0.05的步距改變角度φ的余弦值，并保持γ參數固定為0，就能利用微積分程序評估方程[2]的18個數字解。I可以是任何值。應該在時間t=0到t=0.13之間以步距為05E-5對每個解進行評估。對于得到的每個解，計算最大值和RMS值，如下圖所示。 cos (φ=0,2)時的解。 cos (φ=0,5)時的解。 接著計算Imax/Irms的比值，我們稱之為Ikcr(振幅因數)；這個比值的變化范圍從√2到2√2。 現在將計算出來的Ikcr值放到表格中，并與對應的cosφ值進行匹配 表1：cosφ和振幅因數Ikcr之間的關系。 微分方程[2]的數字解。 通過使用多項式近似技術，并搜索n次多項式，它將返回給定范圍內任何Ikcr值的余弦值： 這個多項式應盡量減小方程[2]的實際數字解與計算值之間的誤差。借助MATLAB或EXCEL之類的程序，就可以計算出不同次的各種多項式的系數，然后選擇最好的一個。 圖：重疊的多項式曲線。 經過分析發現，最佳的多項式近似是由5次曲線確定的，用MATLAB程序進行計算(最小平方方法)，它有以下表達式： 與5次曲線重疊的微分方程的數字解 不管怎樣，有一個殘留誤差無法忽略： 多項式誤差 為了解決這個問題，讓我們搜索另外一個多項式，但現在它應適合殘留誤差點。 同樣在經過分析之后發現，最好的多項式曲線具有下列表達式： 接下來通過計算[3]和[4]兩個多項式之差就可以得到最終結果： 現在我們可以證明，這一最終結果的最大誤差在方程[2]的數字解±0.065(uerr)之內。 殘留誤差。 仔細觀察‘殘留誤差’和‘多項式誤差’圖形可以發現龍格現象。曲線在間隔邊緣會增加誤差。 測量的不確定度 現在看看不確定度的計算：唯一測量的參數是電流值(峰值和RMS)。它用相同的不確定度進行表征(測量系統是相同的)，它們之間的相關性是+1。因此通過應用公式： 那么： 借助這個值就可以計算由這兩個多項式傳播的不確定度： 其中cn是多項式的系數，它是與可忽略的不確定度一起考慮的。 現在再考慮由插入角誤差γ給出的不確定度貢獻。在測量0.5的功率因數時，相對于零的任何±10°變化都包含最大±0.0002 (2e-04) (uang)的cosφ值變化。 另外考慮由計算得到的多項式殘留誤差±0.065 (uerr)給出的另外一個貢獻因素。 uang和uerr被認為都是均勻分布的。 現在我們已經有充足條件做最終計算了： 我們可以分析不確定度趨勢和每種貢獻因素的加權。 不確定度的變化。 不確定度的貢獻因素。 計算結果 鑒于不確定度趨勢在cosφ變化點的行為，決定將不確定度分為兩個間隔；舉例來說，將1.2%的不確定度u用于電流讀取，k=2時與cos測量相關的擴展不確定度是： cos φ從0.9到0.5時為±0.022 cos φ從0.5到0.2時為±0.009 本文小結 使用不確定度約為2%-3%的電流測量鏈可以實現精確的功率因數測量。獲取這些不確定度值不是太困難或太費勁。 也可以用機械裝置插入公差為±10°的電路，比如用直流電流提升的電流接觸器；靜態開關不是強制要求的。 多項式可以用任何簡單的微積分程序進行計算，如EXCEL，或用帶數字函數的示波器。 從0.9到0.2的測量范圍覆蓋了大部分低壓標準要求。 這種測量通過電壓測量實現，因此是完全獨立的。 使用示波器計算相位差不是簡單的一次操作，它暗含了精確的電壓測量和光標的使用。 |
