|
作者：paradoxfx 來源：電子產品世界 我們使用的處理器一般情況下，要么直接支持硬件的浮點運算，比如某些帶有FPU的器件，要么就只支持定點運算，此時對浮點數的處理需要通過編譯器來完成。在支持硬件浮點處理的器件上，對浮點運算的編程最快捷的方法就是直接使用浮點類型，比如單精度的float來完成。但是在很多情況下，限于成本、物料等因素，可供我們使用的只有一個定點處理器時，直接使用float類型進行浮點類型的運算會使得編譯器產生大量的代碼來完成一段看起來十分簡單的浮點數學運算，造成的后果是程序的執行時間顯著加長，且其占用的資源量也會成倍地增加，這就涉及到了如何在定點處理器上對浮點運算進行高效處理的問題。 既然是定點處理器，那么其對定點數，或者說字面意義上的“整數”進行處理的效率就會比它處理浮點類型的運算要高的多。所以在定點處理器上，我們使用定點的整數來代表一個浮點數，并規定整數位數和小數位數，從而方便地對定點數和浮點數進行轉換。以一個32位的定點數為例，假設轉換因子為Q，即32位中小數的位數為Q，整數位數則為31-Q(有符號數的情況)，則定點數與浮點數的換算關系為： 定點數=浮點數×2^Q 例如，浮點數-2.0轉換到Q為30的定點數時，結果為： 定點數=-2×2^30=-2147483648 32位有符號數的表示范圍是：-2147483648到2147483647。如果我們把有符號定點數的最大值2147483647轉換為Q為30對應的浮點數，則結果為： 浮點數2147483647/2^30=1.999999999 從上面的兩個計算例子中也可以看出，在Q30格式的情況下，最大的浮點數只能表示到1.999999999，如果我們想把浮點數2.0轉換為Q30的定點數，則產生了溢出，即造成了1e-9的截斷誤差。在此我們列出Q0到Q30對應的范圍和分辨率如下表所示： 
如果你嫌自己計算麻煩的話，可以借助Matlab的命令來求取它們的轉換，例如，在Matlab的命令窗口中輸入： q = quantizer('fixed', 'ceil', 'saturate', [32 30]); FixedNum=bin2dec(num2bin(q,1.999999999)); 回車之后就可以看到1.999999999轉成Q30之后的定點數了。 弄清楚了單個浮點數和定點數之間的轉換關系，接下來就需要了解一下兩個定點數所代表的浮點數進行運算時，是如何轉換的了。根據乘法的結合律、分配率，浮點數轉換之后的定點數是可以直接運算的，例如： 1. 不同Q格式的轉換 設有定點數Fixed1=Float1*2^Q1，如果把它用為Q2這個不同精度/表示范圍的定點數來表示，則有Fixed2=Float1*2^Q2。所以不同的Q格式直接的轉換為： Fixed2=Fixed1*2^Q2/2^Q1=Fixed1*2^(Q2-Q1) 因為Fixed1、Fixed2都是定點數，所以在C編程的情況下，我們可以使用高效的左移、右移操作來完成這個乘以2^(Q2-Q1)的操作。 2. 兩個相同Q格式的定點數: Fixed1=Float1*2^Q Fixed2=Float2*2^Q 則加法操作為： Float1+Float2=Fixed1/2^Q+Fixed/2^Q=(Fixed1+Fixed2)/2^Q 對于上述的加法操作，如果定點數的和Fixed1+Fixed2超過了32位整數的極值，則會發生溢出現象，造成結果的不正確，此時我們只能先損失一倍的精度，把Float1、Float2的Q值變為Q-1. 乘法操作為： Float1*Float2=Fixed1/2^Q*Fixed/2^Q= Fixed1*Fixed2/2^(2Q) 同樣的道理，如果Fixed1*Fixed2之后的定點數超過了32位整數的極值，則我們也需要提前對它們進行一下折算，變換一下它們的Q值。這就涉及到對結果的一個預估問題，也是定點編程不如浮點編程簡單、高效的不足之一。 3. 兩個不同Q格式的定點數: Fixed1=Float1*2^Q1 Fixed2=Float2*2^Q2 運算的規則是結合了前面的兩種情況，只不過多了額外的轉換工作：要么把其中的一個Q1格式的定點數先轉換為另一個Q2格式，要么把它們都轉換為一個中間值Q3格式的定點數，然后再進行運算。 這些運算雖然并不復雜，但是如果在數學運算比較多的情況下，一個個的進行手工轉換還是比較麻煩的，還好在近些年的處理器特別是DSP芯片中，在其BootROM中都內置了強大的數學表來幫助我們完成這些轉換工作，我們只要按照一定的格式進行書寫，那么編譯器就會自動調用相關的庫函數來完成了。以TI的C28x系列DSP為例，我們可以使用現成的IQMath庫來完成這些繁瑣的工作。它的使用方法示例為 1)在工程屬性中引用IQmath.lib庫文件 2)在使用IQMath庫函數的主程序中引用相關的頭文件： #include #define PI 3.14159 _iq input, sin_out; void main(void ) { /* 0.25 x PI radians represented in Q29 format*/ input=_IQ29(0.25*PI); sin_out =_IQ29sin(input); } 其中，我們可以在頭文件中指定一個全局的Q格式，在不需要特別指定Q值的時候，使用默認的值。 例如，在頭文件中#define Q 28，則我們在程序中調用IQMath庫函數時， sin_out =_IQsin(input);//使用全局定義的Q28格式 sin_out =_IQ29sin(input); //特別指定使用Q29格式 默認情況下，編譯器使用的Q格式是24，如果追求更高的精度，則可以使用更大的Q值，但是相應地表示的浮點數的范圍也要小，此時可以考慮使用標么值，使得大部分變量的值都處在-1到1的區間內。 此外，在C語言編程時，調用方式是_IQsin(input)，在C++編程時，則直接使用IQsin(input)就可以了。 3)在CMD鏈接文件中指明IQMath數學表的位置： 例如，對于281x器件： MEMORY { PAGE 0: PRAMH0 (RW) : origin = 0x3f8000, length = 0x001000 PAGE 1: IQTABLES (R) : origin = 0x3FF000, length = 0x000b50 DRAMH0 (RW) : origin = 0x3f9000, length = 0x001000 } SECTIONS { IQmathTables : load = IQTABLES, type = NOLOAD, PAGE = 1 IQmathTablesRam : load = DRAMH0, PAGE = 1 IQmath : load = PRAMH0, PAGE = 0 } 對于2833x器件： MEMORY { PAGE 0: PRAML0 (RW) : origin = 0x008000, length = 0x001000 PAGE 1: IQTABLES (R) : origin = 0x3FE000, length = 0x000b50 IQTABLES2 (R) : origin = 0x3FEB50, length = 0x00008c DRAML1 (RW) : origin = 0x009000, length = 0x001000 } SECTIONS { IQmathTables : load = IQTABLES, type = NOLOAD, PAGE = 1 IQmathTables2 > IQTABLES2, type = NOLOAD, PAGE = 1 { IQmath.lib (IQmathTablesRam) } IQmathTablesRam : load = DRAML1, PAGE = 1 IQmath : load = PRAML0, PAGE = 0 } 對于280x器件： MEMORY { PAGE 0: PRAML0 (RW) : origin = 0x008000, length = 0x001000 PAGE 1: IQTABLES (R) : origin = 0x3FE000, length = 0x000b50 IQTABLES2 (R) : origin = 0x3FEB50, length = 0x00008c IQTABLES3 (R) : origin = 0x3FEBDC, length = 0x0000AA DRAML1 (RW) : origin = 0x009000, length = 0x001000 } SECTIONS { IQmathTables : load = IQTABLES, type = NOLOAD, PAGE = 1 IQmathTables2 > IQTABLES2, type = NOLOAD, PAGE = 1 { IQmath.lib (IQmathTablesRam) } IQmathTables3 > IQTABLES3, type = NOLOAD, PAGE = 1 { IQmath.lib (IQmathTablesRam) } IQmath : load = PRAML0, PAGE = 0 } 為了方便數學運算的高效處理，IQMath庫中還包含了常用的數學運算函數，包括： 1. 格式轉換 IQN浮點轉定點，IQNtoF定點轉浮點，atoIQN字符串轉定點，IQNtoa定點轉字符串，IQNint返回定點數的整數部分，IQNfrac返回定點數的小數部分，IQtoIQN和IQNtoIQ為指定Q格式與全局Q格式的互轉，IQtoQN和QNtoIQ為32位與16位互轉，IQmpy2, 4, 8..64即左移，IQdiv2, 4, 8..64即右移 2. 算數運算 IQNmpy和IQNrmpy：乘法，IQNrsmpy為帶飽和的乘法。IQNmpyI32和IQNmpyI32int為定點數與32位整數的乘法，IQNmpyI32frac可返回結果的小數位數。QNmpyIQX：不同Q格式的定點數相乘。 IQNdiv：除法運算。 3. 三角運算 包括IQNasin，IQNsin，IQNsinPU，IQNacos，IQNcos，IQNcosPU，IQNatan2，IQNatan2PU，IQNatan。 其中，PU的含義在該函數中π已經折算為1。例如： sin(0.25*π)=sinPU(0.25)。 4. 代數運算 包括IQNexp，IQNlog，IQNsqrt，IQNisqrt，IQNmag，IQNabs，IQsat |
