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小宇宙 被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德布羅（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，意大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用于非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以后，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。 真正令大眾了解分形是從計算機的普及肇始，而一開始，分形圖的計算機繪制也只是停留在二維平面，但這也足以使人們心馳神往。近來，一個分形體愛好者丹尼爾•懷特（英國一鋼琴教師）提出一個大膽的方法，創造出令人稱奇的3D分形影像，并將它們命名為芒德球（mandelbulb）。
在芒德球極其繁瑣的外表下，這個集合實際上是由一種非常基礎的算法得出的。那是一種利用復數的算法。就曼德布羅集而言，它是直接由最簡單的乘方運算得出的——對復數進行乘方。但問題在于無法在三維空間恰當地擴展數的概念。與復數和平面點之間的關系不同，19世紀的數學家們曾證明，立體空間中的點是無法用適宜傳統加法和乘法運算的代數工具來表示的。既然無法定義數字計算，自然也就無法勾畫曼德布羅集的三維形象。解決方案之一是在四維空間中進行計算，然后將結果投射到三維空間中。四維空間中的每個點都可與 “四元數”（quaternion）匹配，對它們可以進行傳統算術操作。盡管四維空間無法用肉眼看到，但利用四元數便能輕而易舉地列出與曼德布羅集相對應的算法，之后去掉一個分量，就能使結果顯示成三維效果。但這個方案也令人失望，得到的畫面比二維圖像好不了多少。 為了避開這個難題，丹尼爾•懷特兩年前冒出一個古怪的想法。徹底擺脫數學的羈絆，他在三維空間的點與點之間憑空構建出一種“偽分形”。盡管其處理手段算不上中規中矩的乘法，但至少將與曼德布羅集相對應的算法擴展到了三維空間中所有的點。丹尼爾•懷特對幾百萬個點進行了計算，之后又追加了光影和紋理以體現立體效果，終于，在他的屏幕上呈現出第一個芒德球，形狀與嚴格的曼德布羅集十分近似。遺憾的是，這一結果沒能滿足他的期望：“圖形令人驚嘆，但我期望的是更精致的細節�！� 嘗試并未就此止步。丹尼爾•懷特在互聯網上的一個分形體論壇上引起了美國一位年輕計算機專家保羅•尼蘭德的注意。他接手懷特的研究，對算法進行稍事改動，把反復的平方操作換成更高次方（八次方），從而得到了一系列新的芒德球，指數越高，細節就越豐富。 這個芒德球引起了我的極大興趣，下決心要學學分形體，于是乎決定從最簡單的分形算法學起，希望與各位共勉。 以下開始介紹幾例最簡單的分形算法： 一、Cantor三分集的遞歸算法 選取一個歐氏長度的直線段，將該線段三等分，去掉中間一段，剩下兩段。將剩下的兩段分別再三等分，各去掉中間一段，剩下四段。將這樣的操作繼續下去，直到無窮，則可得到一個離散的點集。點數趨于無窮多，而歐氏長度趨于零。經無限操作，達到極限時所得到的離散點集稱之為Cantor集。 1.給定初始直線兩個端點的坐標（ax，ay）和（bx，by），按Cantor三分集的生成規則計算出個關鍵點的坐標如下： cx=ax+(bx-ax)/3 cy=ay-d dx=bx-(bx-ax)/3 dy=by-d ay=ay-d by=by-d 2.利用遞歸算法，將計算出來的新點分別對應于（ax，ay）和（bx，by），然后利用步驟1的計算關系計算出下一級新點（cx，cy）和（dx，dy），并壓入堆棧。 3.給定一個小量c，當（bx，by） 下面給出matlab程序： function f=cantor(ax,ay,bx,by) c=0.005;d=0.005; if (bx-ax)>c x=[ax,bx];y=[ay,by];hold on; plot(x,y,'LineWidth',2);hold off; cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay-d; dx=bx-(bx-ax)/3; dy=by-d; ay=ay-d; by=by-d; cantor(ax,ay,cx,cy); cantor(dx,dy,bx,by); end 運行cantor（0,5,5,5），出現圖例如下：
二、Koch曲線的遞歸算法 在一單位長度的線段上對其三等分，將中間段直線換成一個去掉底邊的等邊三角形，再在每條直線上重復以上操作，如此進行下去直到無窮，就得到分形曲線Koch曲線。 1.給定初始直線（ax，ay）-（bx，by），按Koch曲線的構成原理計算出各關鍵點坐標如下： cx=ax+(bx-ax)/3 cy=ay+(by-ay)/3 ex=bx-(bx-ax)/3 ey=by-(by-ay)/3 l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2) alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)) dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l 2.利用遞歸算法，將計算出來的新點分別對應于（ax，ay）和（bx，by），然后利用步驟1中的計算公式計算出下一級新點（cx，cy），（dx，dy），（ex，ey），并壓入堆棧。 3.給定一個小量c，當l 下面給出matlab程序： function f=Koch(ax,ay,bx,by,c) if (bx-ax)^2+(by-ay)^2 x=[ax,bx];y=[ay,by]; plot(x,y);hold on; else cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3; l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2); alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)); if (alpha>=0&(ex-cx)<0)|(alpha<=0&(ex-cx)<0) alpha=alpha+pi; end dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l; dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l; Koch(ax,ay,cx,cy,c); Koch(ex,ey,bx,by,c); Koch(cx,cy,dx,dy,c); Koch(dx,dy,ex,ey,c); end 運行Koch(0,0,100,0,10)，出現圖例如下：
三、生成填充Julia集 1.設定參數a，b以及一個最大的迭代步數N。 2.設定一個限界值R，即實數R≧max（2，sqrt（a^2+b^2）。 3.對于平面上以R為半徑的圓盤內的每一點進行迭代，如果對于所有的n≦N，都有|x^2+y^2|≦R，那么，在屏幕上繪制出相應的起始點，否則不繪制。 下面給出matlab程序： a=-0.11;b=0.65;r=2; for x0=-1:0.01:1 for y0=-1:0.01:1 x=x0;y=y0; if x0^2+y0^2<1 for n=1:80 x1=x*x-y*y+a; y1=2*x*y+b; x=x1; y=y1; end if (x*x+y*y) plot(x0,y0); end hold on; end end end
四、牛頓迭代 牛頓迭代是在數值求解非線性方程（組）的時候經常使用的方法。有些牛頓迭代能夠繪制出漂亮的圖形來，所以現在也常用于設計圖形。 Matlab程序如下： 首先編寫newton函數： function y=newton(z) if (z==0) y=0; return; end for i=1:1:2000 y=z-(z^3-1)/(3*z^2); if (abs(y-z)<1.0e-7) break; end z=y; end 接著進入主程序： clear all;clc; A=1;B=0;C=1; for a=-1:0.005:1 for b=-1:0.005:1 x0=a+b*i; y=newton(x0); if abs(y-A)<1.0e-6 plot(a,b,'r');hold on; elseif abs(y-B)<1.0e-6 plot(a,b,'g');hold on; elseif abs(y-C)<1.0e-6 plot(a,b,'y');hold on; end end end
五、迭代函數系IFS IFS是分形的重要分支。它是分形圖像處理中最富生命力而且最具有廣闊應用前景的領域之一。這一工作最早可以追溯到Hutchinson于1981年對自相似集的研究。美國科學家M.F.Barnsley于1985年發展了這一分形構型系統，并命名為迭代函數系統（Iterated Function System，IFS），后來又由Stephen Demko等人將其公式化，并引入到圖像合成領域中。IFS將待生成的圖像看做是由許多與整體相似的（自相似）或經過一定變換與整體相似的（自仿射）小塊拼貼而成。 算法： 1.設定一個起始點（x0，y0）及總的迭代步數。 2.以概率P選取仿射變換W，形式為 X1=a x0+b y0 +e Y1=c x0+d y0+f 3.以W作用點（x0，y0），得到新坐標（x1，y1）。 4.令x0=x1，y0=y1。 5.在屏幕上打出（x0，y0）。 6.重返第2步，進行下一次迭代，直到迭代次數大于總步數為止。 下面給出一些IFS植物形態的matlab程序： a=[0.195 -0.488 0.344 0.433 0.4431 0.2452 0.25; 0.462 0.414 -0.252 0.361 0.2511 0.5692 0.25; -0.058 -0.07 0.453 -0.111 0.5976 0.0969 0.25; -0.035 0.07 -0.469 -0.022 0.4884 0.5069 0.2; -0.637 0 0 0.501 0.8562 0.2513 0.05]; x0=1;y0=1; for i=1:10000 r=rand; if r<=0.25 x1=a(1,1)*x0+a(1,2)*y0+a(1,5); y1=a(1,3)*x0+a(1,4)*y0+a(1,6); end if r>0.25 & r<=0.5 x1=a(2,1)*x0+a(2,2)*y0+a(2,5); y1=a(2,3)*x0+a(2,4)*y0+a(2,6); end if r>0.5 & r<=0.75 x1=a(3,1)*x0+a(3,2)*y0+a(3,5); y1=a(3,3)*x0+a(3,4)*y0+a(3,6); end if r>0.75 & r<=0.95 x1=a(4,1)*x0+a(4,2)*y0+a(4,5); y1=a(4,3)*x0+a(4,4)*y0+a(4,6); end if r>0.95 & r<=1 x1=a(5,1)*x0+a(5,2)*y0+a(5,5); y1=a(5,3)*x0+a(5,4)*y0+a(5,6); end x0=x1;y0=y1; plot(x1,y1);hold on; end 得到圖例如下：
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修改部分系數便可得到另一種形態： 六、三角形分形 function triangles(n); clc;close all; if nargin==0; n=4; end rand('state',2); C=rand(n+4,3); figure; axis square equal;hold on; a=-pi/6; p=0; r=1; [p,r,n,a]=tritri(p,r,n,a,C); function [p,r,n,a]=tritri(p,r,n,a,C); % 畫一個三角形 % p 是三角形中心 % r是三角形半徑 % n是遞歸次數 % a是三角形角度 % C是顏色矩陣 z=p+r*exp(i*([0:3]*pi*2/3+a)); zr=p+r*exp(i*([0:3]*pi*2/3+a))/2; pf=fill(real(z),imag(z),C(n+2,  );set(pf,'EdgeColor',C(n+2, );if n>0; [p,r,n,a]=tritri(p,r/2,n-1,a+pi/3,C); n=n+1;r=r*2;a=a-pi/3; [zr(1),r,n,a]=tritri(zr(1),r/4,n-1,a,C); n=n+1;r=r*4; [zr(2),r,n,a]=tritri(zr(2),r/4,n-1,a,C); n=n+1;r=r*4; [zr(3),r,n,a]=tritri(zr(3),r/4,n-1,a,C); n=n+1;r=r*4; end 七、曼德布羅集合 Mandelbrot set是在復平面上組成分形的點的集合。Mandelbrot集合可以用復二次多項式f(z)=z^2+c來定義。其中c是一個復參數。對于每一個c，從z=0開始對f(z)進行迭代序列 (0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), .......)的值或者延伸到無限大，或者只停留在有限半徑的圓盤內。曼德布羅集合就是使以上序列不延伸至無限大的所有c點的集合。從數學上來講，曼德布羅集合是一個復數的集合。一個給定的復數c或者屬于曼德布羅集合M，或者不是。 1.設定參數a，b，以及一個最大的迭代步數N。 2.設定一個限界值R，不妨設實數R=2。 3.對于參數平面上的每一點c（a，b），使用以R為半徑的圓盤內的每一點進行迭代，如果對于所有的n≤N，都有|x*x+y*y|≤R*R，那么，在屏幕上繪制出相應的起始點c（a，b），否則不繪制。 下面給出matlab程序： r=4;%限界值 for a=-2:0.002:1 for b=-2:0.002:1%參數a，b取到一個范圍 x=a;y=b;%初始的復數c for n=1:20 x1=x*x-y*y+a;%復數平方加一個c的運算 y1=2*x*y+b; x=x1;%迭代 y=y1; end if(x*x+y*y) end hold on; end end 八、腦分形 作為IFS的一種應用 a=[0.03 0 0 0.45 0 0 0.05; -0.03 0 0 -0.45 0 0.4 0.15; 0.56 -0.56 0.56 0.56 0 0.4 0.4; 0.56 0.56 -0.56 0.56 0 0.4 0.4]; x0=1;y0=1; for i=1:100000 r=rand; if r<=0.05 x1=a(1,1)*x0+a(1,2)*y0+a(1,5); y1=a(1,3)*x0+a(1,4)*y0+a(1,6); end if r>0.05 & r<=0.2 x1=a(2,1)*x0+a(2,2)*y0+a(2,5); y1=a(2,3)*x0+a(2,4)*y0+a(2,6); end if r>0.2 & r<=0.6 x1=a(3,1)*x0+a(3,2)*y0+a(3,5); y1=a(3,3)*x0+a(3,4)*y0+a(3,6); end if r>0.6 & r<=1 x1=a(4,1)*x0+a(4,2)*y0+a(4,5); y1=a(4,3)*x0+a(4,4)*y0+a(4,6); end x0=x1;y0=y1; plot(x1,y1); hold on; end 最簡單的brain fractal 參考文獻 [1] 分形算法與程序設計—java實現 孫博文 著 科學出版社，2004 [2] 混沌的計算實驗與分析 于萬波 著 科學出版社，2008 [3] 芒德球的分形之美 作者：Herv Poirier 譯者：郭鑫 《新發現》2010年第5期 |
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